题目内容

9、对于一元二次方程ax2+bx+c=0，下列说法：①若b=a+c，则方程必有一根为x=-1；②若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；③若b2＞4ac，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实数根；其中正确结论有（　　）个．
分析：①首先把b=a+c变为a-b+c=0，当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c，由此即可判定说法正确；
②由于c是方程ax2+bx+c=0的一个根，把c代入方程即可得到ac2+bc+c=0，而c的值不确定，由此即可判定是否正确；
③由于b2＞4ac，则b2-4ac＞0，根据判别式与根的情况即可判定方程ax2+bx+c=0是否有两个不相等实数根．
解答：解：①∵b=a+c，
∴a-b+c=0，
∴当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c=0，
∴x=-1为方程ax2+bx+c=0的一根；
②∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴把c代入方程即可得到ac2+bc+c=0，
而c没有确定是否等于0，
∴ac+b+1=0不一定成立；
③∵b2＞4ac，
∴b2-4ac＞0，
则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实数根．
所以正确的结论有①③．
故选C．
点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式和方程的解，其中①只要把x=-1代入方程结合已知条件即可判定；②主要利用c的值不一定不等于0解决问题；③利用判别式即可解决问题．
练习册系列答案
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有一根为1的一元二次方程

对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a＋b＋c＝0，那么它的两个根分别为x1＝1，x2＝．说明如下：

由于a＋b＋c＝0，则c＝－a－b

将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

解得x1＝1，x2＝．

请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

(1)3x2－5x＋2＝0，x1＝________，x2＝________；

(2)7x2－4x－3＝0，x1＝________，x2＝________；

(3)13x2＋7x－20＝0，x1＝________，x2＝________；

(4)x2－(＋1)x＋＝0，x1＝________，x2＝________；

(5)2004x2－2003x－1＝0，x1＝________，x2＝________；

(6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，x1＝________，x2＝________；

(7)请你写出3个一元二次方程，使它们都有一个根是1．

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　　对于关于x的一元一次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a＋b＋c＝0，那么它的两个根分别为x1＝1，x2＝．说明如下：

　　由于a＋b＋c＝0，则c＝－a－b

　　将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

　　即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

　　解得x1＝1，x2＝．

请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

(1)3x2－5x＋2＝0，　　　　　　　(2)7x2－4x－3＝0，

x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

(3)13x2＋7x－20＝0，　　　　　　(4)x2－(＋1)x＋＝0，

x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

(5)2004x2－2003x2－1＝0，x1＝________；x2＝________；

(6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，

x1＝________，x2＝________．

(7)请你写出3个一元二次方程，使它们都有一个根是1．

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