已知:如图.抛物线C1:交y轴交于点B.交x轴于点A.E．且连接AB=10.cot∠ABO=3.Q在C1上．(1)求抛物线C1的解析式,(2)若一个动点P自OB的中点H出发.先到达x轴上某点.再到达抛物线的对称轴上某点最后到达点B.求使点P运动的总路径最短的点N.点K的坐标.并求出这个最短总路径的长,(3)设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F.顶点为D.另一条抛物线C2经� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知：如图，抛物线C₁：交y轴交于点B，交x轴于点A、E（点E在点A的右边）．且连接AB=

，cot∠ABO=3，Q（-2，-5）在C₁上．

（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）若一个动点P自OB的中点H出发，先到达x轴上某点（设为N），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点K）最后到达点B，求使点P运动的总路径最短的点N，点K的坐标，并求出这个最短总路径的长；
（3）设抛物线C₁的对称轴与x轴交于点F，顶点为D，另一条抛物线C₂经过点E（抛物线C₂与抛物线C₁不重合）且顶点为M（a，b）b＜0，对称轴与x轴相交于点G，且以M、G、E为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形全等，求a、b的值（只需写结果，不必写出解答过程）

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）根据cot∠ABO=3，设OA=x，OB=3x，在Rt△AOB中，利用勾股定理列式求出x的值，从而得到点A、B的坐标，然后设抛物线C₁的解析式为y=ax²+bx+c，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据轴对称确定最短路线问题，找出点B关于对称轴的对称点B′，点H关于x轴的对称点H′，连接B′H′与x轴的交点即为N，与对称轴的交点即为K，然后利用待定系数法求出直线B′H′的解析式，再令y=0求出点N的坐标，把抛物线对称轴的x的值代入求出点K的坐标，利用两点间的距离公式列式求出B′H′，即最短路线的长；
（3）先利用抛物线C₁的解析式求出点E的坐标，求出顶点D的坐标，从而得到EF、DF的长，然后根据全等三角形对应边相等，分EG与DF是对应边，EG与EF是对应边，点G在点E的左边与右边分别求出OG、MG的长度，然后写出点M的坐标，即可得到a、b的值．

解答：解：（1）∵cot∠ABO=3，
∴设OA=x，OB=3x，
则在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

x2+(3x)2

x，
∵AB=

，
∴x=1，
∴OA=1，OB=3，
∴点A（-1，0），B（0，3），
设抛物线C₁的解析式为y=ax²+bx+c，
则

a-b+c=0

c=3

4a-2b+c=-5

，
解得

a=-1

b=2

c=3

，
∴抛物线C₁的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵OB=3，
∴OB的中点H的坐标为（0，

），
∴点H关于x轴的对称点H′的坐标为（0，-

），

∵抛物线C₁的对称轴为直线x=-

2×(-1)

=1，
∴点B关于对称轴的对称点B′（2，3），
连接B′H′，与x轴的交点即为N，与对称轴的交点即为K，
设直线B′H′的解析式为y=kx+b，
则

b=-

2k+b=3

，
解得

b=-

，
∴直线B′H′的解析式为y=

，
令y=0，则

=0，
解得x=

，
∴点N的坐标为（

，0），
当x=1时，y═

×1-

，
∴点K的坐标为（1，

），
B′H′=

(3+

)2+22

，
即点P运动的最短总路径长

；

（3）令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点E的坐标为（3，0），
又∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，

∴顶点D的坐标为（1，4），
∴DF=4，EF=3-1=2，
∵以M、G、E为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形全等，
∴①EG与DF是对应边时，EG=DF=4，MG=EF=2，
若点G在点E的左边，则OG=EG-OE=4-3=1，
∴点M的坐标为M₁（-1，-2），
此时a=-1，b=-2，
若点G在点E的右边，则OG=EG+OE=4+3=7，
∴点M的坐标为M₂（7，-2），
此时a=7，b=-2；
②EG与EF是对应边时，EG=EF=2，MG=DF=4，
若点G在点E的左边，则OG=OE-EG=3-2=1，
∴点M的坐标为M₃（1，-4），
此时a=1，b=-4，
若点G在点E的右边，则OG=EG+OE=2+3=5，
∴点M的坐标为M₄（5，-4），
此时a=5，b=-4．

点评：（1）本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，
（2）利用轴对称确定最短路线问题确定出点N、K的位置是解题的关键，
（3）主要利用了全等三角形对应边相等的性质，难点在于要分情况讨论．