Question

【题目】（2017江苏省无锡市，第25题，10分）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．

（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为 ；若点M经过T变换后得到点N（6，），则点M的坐标为 ．

（2）A是函数图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．

①求经过点O，点B的直线的函数表达式；

②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．

Answer 1

【答案】（1）（ ，）；（9，）；（2）①；②．

【解析】试题（1）连接CQ可知△PCQ为等边三角形，过Q作QD⊥PC，利用等边三角形的性质可求得CD和QD的长，则可求得Q点坐标；设出M点的坐标，利用P、Q坐标之间的关系可得到点M的方程，可求得M点的坐标；

（2）①可取A（2，），利用T变换可求得B点坐标，利用待定系数示可求得直线OB的函数表达式；②由待定系数示可求得直线AB的解析式，可求得D点坐标，则可求得AB、AD的长，可求得△OAB的面积与△OAD的面积之比．

试题解析：（1）如图1，连接CQ，过Q作QD⊥PC于点D，

由旋转的性质可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，

∴△PCQ为等边三角形，

∵P（a，b），

∴OC=a，PC=b，

∴CD=PC=b，DQ=PQ=b，

∴Q（a+b，b）；

设M（x，y），则N点坐标为（x+y，y），

∵N（6，﹣），

∴，解得，

∴M（9，﹣2）；

（2）①∵A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点，

∴可取A（2，），

∴2+×=，×=，

∴B（，），

设直线OB的函数表达式为y=kx，则k=，解得k=，

∴直线OB的函数表达式为y=x；

②设直线AB解析式为y=k′x+b，

把A、B坐标代入可得，解得，

∴直线AB解析式为y=﹣x+，

∴D（0，），且A（2，），B（，），

∴AB=，AD=，

∴．