题目内容
（2013•鄂州）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，-1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）．
（1）若M（-2，5），请直接写出N点坐标．
（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线y=
x2+
x+k上，求该抛物线对应的函数解析式．
（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：
，求m的值．
（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的
，求此时BP的长度．
（1）若M（-2，5），请直接写出N点坐标．
（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线y=
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（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：
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（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的
| 1 |
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分析：（1）首先根据点M的移动方向和单位得到点N的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可；
（2）将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值；
（3）配方后确定点B、A、E的坐标，根据CO：OF=2：
用m表示出线段CO、FO和BF的长，利用S△BEC=S△EBF+S△BFC=
S△ABC得到有关m的方程求得m的值即可；
（4）分当∠BPE＞∠APE时、当∠BPE=∠APE时、当∠BPE＜∠APE时三种情况分类讨论即可．
（2）将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值；
（3）配方后确定点B、A、E的坐标，根据CO：OF=2：
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| 1 |
| 2 |
（4）分当∠BPE＞∠APE时、当∠BPE=∠APE时、当∠BPE＜∠APE时三种情况分类讨论即可．
解答：解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，
由点M到点M′可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，
故点N′的坐标为（5-5，-1+3），即（0，2）．
N（0，2）；
（2）∵N（0，2）在抛物线y=
x2+
x+k上
∴k=2
∴抛物线的解析式为y=
x2+
x+2
（3）∵y=
x2+
x+2=
（x+2
）2
∴B（-2
，0）、A（0，2）、E（-
，1）
∵CO：OF=2：
∴CO=-m，FO=-
m，BF=2
+
m
∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=
S△ABC
∴
（2
+
m）（-m+1）=
×
×2
(2-m)
整理得：m2+m=0
∴m=-1或0
∵m＜0
∴m=-1
（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO=
=
=
∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分．
∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=
S△ABP
∵S△EHP=
S△ABP
∴S△A1HE=S△EHP=S△BHP=
S△ABP
∴A1H=HP，EH=HB=1
∴四边形A1BPE为平行四边形
∴BP=A1E=AE=2
即BP=2
②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意；
③当∠BPE＜∠APE时．
则对折后如图3，A1为对折后A的所落点．△EHP是重叠部分
∵E为AB中点，
∴S△AEP=S△BEP=
S△ABP
∵S△EHP=
S△ABP∴S△EBH=S△EHP=S△A1HP=
S△ABP
∴BH=HP，EH=HA1=1
又∵BE=EA=2
∴EH
AP，
∴AP=2
在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．
∴∠APB=90°，
∴BP=2
，
综合①②③知：BP=2或2
；
由点M到点M′可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，
故点N′的坐标为（5-5，-1+3），即（0，2）．
N（0，2）；
（2）∵N（0，2）在抛物线y=
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| 2 |
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∴k=2
∴抛物线的解析式为y=
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（3）∵y=
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∴B（-2
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∵CO：OF=2：
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∴CO=-m，FO=-
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∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=
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整理得：m2+m=0
∴m=-1或0
∵m＜0
∴m=-1
（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO=
| AO |
| BO |
| 2 | ||
2
|
| ||
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∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分．
∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=
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∵S△EHP=
| 1 |
| 4 |
∴S△A1HE=S△EHP=S△BHP=
| 1 |
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∴A1H=HP，EH=HB=1
∴四边形A1BPE为平行四边形
∴BP=A1E=AE=2
即BP=2
②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意；
③当∠BPE＜∠APE时．
则对折后如图3，A1为对折后A的所落点．△EHP是重叠部分
∵E为AB中点，
∴S△AEP=S△BEP=
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∵S△EHP=
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| 1 |
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∴BH=HP，EH=HA1=1
又∵BE=EA=2
∴EH
| ∥ |
. |
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∴AP=2
在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．
∴∠APB=90°，
∴BP=2
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综合①②③知：BP=2或2
| 3 |
点评：此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定，图形折叠问题及图形面积等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．
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