Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，D为BC边上一点，CD=3，过A，C，D三点的⊙O与斜边AB交于点E，连结DE．

（1）求证：△BDE∽△BAC；

（2）求△ACD外接圆的直径的长；

（3）若AD平分∠CAB，求出BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3；（3）BD=5．

【解析】

试题分析：（1）由圆周角定理可证∠AED=90°，所以∠DEB=90°，再由公共角相等即可证明△BDE∽△BAC；

（2）由圆周角定理可证明AD是△ACD外接圆的直径，在直角三角形ACD中利用勾股定理可求出AD的长，问题得解；

（3）设BD=x，则BC=CD+x，由勾股定理可求出AB的长，由（1）可知△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可得到关于x的比例式，进而可求出x的值，BD的长得解．

解：（1）∵∠ACB=90°，

∴AD是圆的直径，

∴∠AED=90°，

∴∠DEB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC；

（2）∵∠ACB=90°，

∴AD是圆的直径，

∵AC=6，CD=3，

∴AD===3；

（3）∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，AC⊥CD，

∴CD=DE=3，

设BD=x，则BC=CD+x=3+x，

在Rt△ACB中，AB==，

∵△BDE∽△BAC，

∴，

即，

∴4x2=62+（3+x）2，

解得：x=5或﹣3（舍），

∴BD=5．