题目内容

(本小题满分9分)

如图所示,抛物线与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E.

⑴求A、B、C三个点的坐标.

⑵点P为线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN、BM、MN.

①求证:AN=BM.

②在点P运动的过程中,四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值?并求出该最大值或最小值.

 

【答案】

 

(1)A(-1,0),B(3,0) C(1,2

(2)①AN=BM,证明略。

②m=2时,S取得最小值3

【解析】解:⑴令

解得:,              

∴A(-1,0),B(3,0)    2分

=

∴抛物线的对称轴为直线x=1,

将x=1代入,得y=2

∴C(1,2).     3分

⑵①在Rt△ACE中,tan∠CAE=

∴∠CAE=60º,

由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线,

∴AC=BC,

∴△ABC为等边三角形,       4分

∴AB= BC =AC = 4,∠ABC=∠ACB= 60º,

又∵AM=AP,BN=BP,

∴BN = CM,       

∴△ABN≌△BCM,                

∴AN=BM.        5分

②四边形AMNB的面积有最小值.       6分

设AP=m,四边形AMNB的面积为S,

由①可知AB= BC= 4,BN = CM=BP,S△ABC=×42=

∴CM=BN= BP=4-m,CN=m,             

过M作MF⊥BC,垂足为F,

则MF=MC•sin60º=

∴S△CMN===,   7分

∴S=S△ABC-S△CMN

=-(

=        8分

∴m=2时,S取得最小值3.      9分

 

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