题目内容

【题目】等腰RtABC中,BAC=90°,点A、点B分别是x轴、y轴两个动点,直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E;

(1)如图(1),若A(0,1),B(2,0),求C点的坐标;

(2)如图(2),当等腰RtABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE,求证:ADB=CDE

(3)如图(3),在等腰RtABC不断运动的过程中,若满足BD始终是ABC的平分线,试探究:线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系,并说明理由.

【答案】(1)C(﹣1,﹣1);(2)见解析;(3)BD=2(OA+OD).

【解析】

试题分析:(1)过点C作CFy轴于点F通过证ACF≌△ABO得CF=OA=1,AF=OB=2,求得OF的值,就可以求出C的坐标;

(2)过点C作CGAC交y轴于点G,先证明ACG≌△ABD就可以得出CG=AD=CD,DCE=GCE=45°,再证明DCE≌△GCE就可以得出结论;

(3)在OB上截取OH=OD,连接AH,由对称性得AD=AH,ADH=AHD,可证AHD=ADH=BAO=BEO,再证明ACE≌△BAH就可以得出结论.

(1)解:过点C作CFy轴于点F,

∴∠AFC=90°

∴∠CAF+ACF=90°

∵△ABC是等腰直角三角形,BAC=90°

AC=ABCAF+BAO=90°AFC=BAC

∴∠ACF=BAO

ACFABO中,

∴△ACF≌△ABO(AAS)

CF=OA=1,AF=OB=2

OF=1

C(﹣1,﹣1);

(2)证明:过点C作CGAC交y轴于点G,

∴∠ACG=BAC=90°

∴∠AGC+GAC=90°

∵∠CAG+BAO=90°

∴∠AGC=BAO

∵∠ADO+DAO=90°DAO+BAO=90°

∴∠ADO=BAO

∴∠AGC=ADO.

ACGABD

∴△ACG≌△ABD(AAS),

CG=AD=CD

∵∠ACB=ABC=45°

∴∠DCE=GCE=45°

DCEGCE中,

∴△DCE≌△GCE(SAS),

∴∠CDE=G

∴∠ADB=CDE

(3)解:在OB上截取OH=OD,连接AH

由对称性得AD=AH,ADH=AHD

∵∠ADH=BAO

∴∠BAO=AHD

BDABC的平分线,

∴∠ABO=EBO

∵∠AOB=EOB=90°

AOBEOB中,

∴△AOB≌△EOB(ASA),

AB=EB,AO=EO,

∴∠BAO=BEO

∴∠AHD=ADH=BAO=BEO

∴∠AEC=BHA

AECBHA中,

∴△ACE≌△BAH(AAS)

AE=BH=2OA

DH=2OD

BD=2(OA+OD).

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