Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM．

（1）求证：AM与⊙O相切；

（2）若AM=3DM，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）MO=．

【解析】

试题分析：（1）首先连接OE，由四边形ABCD是矩形，∠BAC=∠DAM，可证得∠OMC+∠DMA=90°，即可得∠AMO=90°，则可证得AM与⊙O相切；

（2）易证得△BAC∽△DAM，由相似三角形的性质得到=，得到=，根据AM=3DM，BC=2求得AC=6，在△DAM中，根据勾股定理得DM2+AD2=AM2，即可求得DM和AM，在△AMO中，根据AM2+MO2=AO2求得OM的长，即可得⊙O的半径．

（1）证明：连接OM．

在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°

∴∠BAC=∠DCA，

∵OM=OC，

∴∠OMC=∠OCM．

∵∠BAC=∠DAM，

∴∠DAM=∠OMC．

∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．

在△DAM中，∠D=90°，

∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°．

∴∠OMC+∠DMA=90°．

∴∠AMO=90°，

∴AM⊥MO．

点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，

∴AM与⊙O相切．

（2）在△BAC与△DAM中，

∵∠BAC=∠DAM，∠B=∠D，

∴△BAC∽△DAM，

∴=，

∴=．

∵AM=3DM，

∴AC=3BC．BC=2，

∴AC=6，

在△DAM中，DM2+AD2=AM2

即DM2+22=（3DM）2

解得DM=．AM=．

在△AMO中，AM2+MO2=AO2

即（）2+MO2=（6﹣MO）2．

解得MO=．