题目内容
【题目】已知:如图(1),直线AB∥CD,EF分别交AB、CD于E、F两点,∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K.(1)求∠EKF的度数.(计算过程不准用三角形内角和)(2)如图(2),∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1,问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系?写出结论并证明.(3)在图2中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2,作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3,依此类推,作∠BEKn、∠DFKn的平分线相交于点Kn+1,请用含的n式子表示∠Kn+1的度数.(直接写出答案,不必写解答过程)
【答案】(1)∠EKF=90°;(2)∠K=2∠K1理由见解析;(3)归纳总结得:∠Kn+1= ×90°.
【解析】试题分析:(1)过K作KG∥AB,可得KG∥CD,可得出两对内错角相等,由EK与FK分别为角平平分线,利用角平分线定义得到两对角相等,再由AB与CD平行,利用两直线平行同旁内角互补得到两对角互补,利用等式的性质求出∠BKE+∠DFK的度数,即可求出∠EKF的度数;(2)∠K=2∠K1,由∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1,利用角平分线定义得到两对角相等,等量代换求出∠K1,进而确定出两角的关系;(3)依此类推即可确定出∠Kn+1的度数;
试题解析:
(1)过K作KG∥AB,可得KG∥CD,如图所示:
∴∠BEK=∠EKG,∠GKF=∠KFD,
∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线,
∴∠BEK=∠FEK,∠EFK=∠DFK,
∵AB∥CD,
∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK=180°,即2(∠BEK+∠DFK)=180°,
∴∠BEK+∠DFK=90°,则∠EKF=∠EKG+∠GKF=90°;
(2)∠K=2∠K1,理由为:
∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1,
∴∠BEK1=∠KEK1,∠KFK1=∠DFK1,
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK=180°,即2(∠BEK+∠KFD)=180°,
∴∠BEK+∠KFD=90°,即∠KEK1+∠KFK1=45°,
∴∠K1=180°-(∠KEF+∠EFK)-(∠KEK1+∠KFK1)=45°,则∠K=2∠K1;
(3)归纳总结得:∠Kn+1= ×90°。