Question

【题目】
（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证： = ．（这个比值 叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC． （注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，

∴设AB=2x，BC=x，则AC= x，

∴AD=AE=（ ﹣1）x，

∴ = = ．

（2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图：

①过点B作EB⊥AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，使BE=BD，

②连接AE，以E为圆心，BE长为半径画弧，使EF=BE，

③以B为圆心AF长为半径画弧，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，

则△ABC即为所求．

．

【解析】（1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案；（2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解黄金分割的相关知识，掌握把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=0.618AB．