Question

【题目】如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；

（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CE＝2．

【解析】

（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；
（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（2）2=x2+（3x）2求得答案．

（1）证明：如图，连接BD．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠ABD＝90°．

∵AF是⊙O的切线，

∴∠FAB＝90°，

即∠DAB+∠CAF＝90°．

∴∠CAF＝∠ABD．

∵BA＝BC，∠ADB＝90°，

∴∠ABC＝2∠ABD．

∴∠ABC＝2∠CAF．

（2）解：如图，连接AE，

∴∠AEB＝90°，

设CE＝x，

∵CE：EB＝1：4，

∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，

在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，

即（2）2＝x2+（3x）2，

∴x＝2．

∴CE＝2．