题目内容
阅读下列材料，然后解答后面的问题：
我们知道二元一次方程组
的求解方法是消元法，即可将它化为一元一次方程来解，可求得方程组
有唯一解．
我们也知道二元一次方程2x+3y=12的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整数解的过程：
由2x+3y=12得：y=
=4-
x
∵x、y为正整数，∴
则有0＜x＜6
又y=4-
x为正整数，则
x为正整数，所以x为3的倍数．
又因为0＜x＜6，从而x=3，代入：y=4-
×3=2
∴2x+3y=12的正整数解为
解决问题：
（1）九年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3元/本，钢笔单价为5元/支，问有几种购买方案？
（2）试求方程组
的正整数解．
我们知道二元一次方程组
|
|
我们也知道二元一次方程2x+3y=12的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整数解的过程：
由2x+3y=12得：y=
| 12-2x |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∵x、y为正整数，∴
|
又y=4-
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
又因为0＜x＜6，从而x=3，代入：y=4-
| 2 |
| 3 |
∴2x+3y=12的正整数解为
|
解决问题：
（1）九年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3元/本，钢笔单价为5元/支，问有几种购买方案？
（2）试求方程组
|
分析：（1）根据3x+5y=35，得y=
=7-
x，进而利用y=7-
x，为正整数，则
x为正整数，分析得出即可；
（2）利用（1）中计算方法，得出x，y的取值，进而求出z的值即可．
| 35-3x |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（2）利用（1）中计算方法，得出x，y的取值，进而求出z的值即可．
解答：解：（1）设购买了笔记本x本，钢笔y支，
根据题意得出：3x+5y=35，
由题意可得：3x+5y=35，得y=
=7-
x，
∵x，y为正整数，
∴
，
则有：0＜x＜
，
又y=7-
x，为正整数，则
x为正整数，
∴x为5的倍数，又∵0＜x＜
，从而得出x=5或10，代入：y=4或1，
∴有两种购买方案：
购买的笔记本5本，钢笔4支，
购买的笔记本10本，钢笔1支；
（2）两式相加消去z得5x+2y=22，
由上题方法可得：
或
，
将
代入方程2x+y+z=10得出z=0（不合题意舍去），
将
，代入方程2x+y+z=10得出z=1，
∴原方程组的解集为：
．
根据题意得出：3x+5y=35，
由题意可得：3x+5y=35，得y=
| 35-3x |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∵x，y为正整数，
∴
|
则有：0＜x＜
| 35 |
| 3 |
又y=7-
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴x为5的倍数，又∵0＜x＜
| 35 |
| 3 |
∴有两种购买方案：
购买的笔记本5本，钢笔4支，
购买的笔记本10本，钢笔1支；
（2）两式相加消去z得5x+2y=22，
由上题方法可得：
|
|
将
|
将
|
∴原方程组的解集为：
|
点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及多元方程组的解法，正确利用已知正整数解这一条件是解题关键．
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