Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，6），若抛物线的对称轴为直线x=-

5

2

，且△ABC的面积为33．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在y轴的正半轴上，是否存在这样的点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上，是否存在这样的点Q，使得点Q到直线AC的距离为5？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据点C的坐标求出OC的长度，再根据△ABC的面积求出AB的长度，然后根据二次函数的对称性求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）分OP和OA是对应边，OP与OC是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，然后写出点P的坐标即可；
（3）过点B作BD⊥AC于D，利用勾股定理列式求出AC、BC，再利用△ABC的面积求出BD，然后根据相似三角形对应边成比例求出CQ的长，过Q作QE⊥y轴，解直角三角形求出QE、CE，然后分点Q在点C的下方和上方两种情况求出坐标即可．

解答：解：（1）∵C（0，6），
∴OC=6，
∴△ABC的面积=

1

2

AB×6=33，
解得AB=11，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

5

2

，
∴-

5

2

-

11

2

=-8，-

5

2

+

11

2

=3，
∴点A（-8，0），B（3，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C，
∴

64a-8b+c=0 9a+3b+c=0 c=6

，
解得

a=- 1 4 b=- 5 4 c=6

，
∴抛物线的函数关系式为y=-

1

4

x²-

5

4

x+6；

（2）∵A（-8，0），
∴OA=8，
①OP和OA是对应边时，△AOC∽△POB，
∴

OP

OA

=

OB

OC

，
即

OP

8

=

3

6

，
解得OP=4，
②OP与OC是对应边时，△AOC∽△BOP，
∴

OP

OC

=

OB

OA

，
即

OP

6

=

3

8

，
解得OP=

9

4

，
∵点P在y轴正半轴，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，

9

4

）；

（3）过点B作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AC=

OA2+OC2

=

82+62

=10，
BC=

OB2+OC2

=

32+62

=3

5

，
S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×10•BD=33，
解得BD=

33

5

，
∵点Q到直线AC的距离为5，
∴

CQ

BC

=

5

BD

，
即

CQ

3 5

=

5

33 5

，
解得CQ=

25 5

11

，
过Q作QE⊥y轴，QE=CQ•sin∠OCB=

25 5

11

×

3

3 5

=

25

11

，
CE=CQ•cos∠OCB=

25 5

11

×

6

3 5

=

50

11

，
点Q在点C的下方时，点Q的纵坐标为6-

50

11

=

16

11

，
此时，点Q的坐标为（

25

11

，

16

11

），
点Q在点C的上方时，点Q的纵坐标为6+

50

11

=

116

11

，
此时，点Q的坐标为（

25

11

，

116

11

），
综上所述，直线BC上存在点Q（

25

11

，

16

11

）或（

25

11

，

116

11

），使点Q到直线AC的距离为5．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了三角形的面积，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，解直角三角形，难点在于（2）（3）都要分情况讨论．