Question

操作与探究：
如图1，在正方形ABCD中，AB=2，将一块足够大的三角板的直角顶点P放在正方形的中心O处，将三角板绕O点旋转，三角板的两直角边分别交边AB、BC于点E、F．
（1）试猜想PE、PF之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）求四边形PEBF的面积；
（3）现将直角顶点P移至对角线BD上其他任意一点，PE、PF之间的大小关系是否改变？并说明理由．

Answer 1

解：（1）PE=PF．
作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N．
∵ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC．
∴PM=PN．
在四边形BEPF中，
∵∠EBF=∠EPF=90°，
∴∠PFB+∠PEB=180°．
又∵∠PEB+∠PEM=180°，
∴∠PFB=∠PEM．
∴Rt△PEM≌Rt△PFN，（AAS）
∴PE=PF；

（2）由（1）知四边形PEBF的面积等于正方形PMBN的面积．
∵BO=OD，OM∥AD，
∴BM=AM=1．
∴S_{四边形PEBF}=1；

（3）不会改变．理由如下：
作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N．
∵ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC．
∴PM=PN．
在四边形BEPF中，
∵∠EBF=∠EPF=90°，
∴∠PFB+∠PEB=180°．
又∵∠PEB+∠PEM=180°，
∴∠PFB=∠PEM．
∴Rt△PEM≌Rt△PFN，（AAS）
∴PE=PF．
分析：（1）猜想：PE=PF．作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N．运用AAS证明△PME与△PNF全等；
（2）由（1）可知四边形PEBF的面积等于正方形PMBN的面积；
（3）PE、PF之间的大小关系不会改变．理由同（1）．
点评：此题考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，综合性较强．