题目内容

如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE=2，AB=1．将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k．
解答问题：
（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得
AM
DM
的值为
1
1
；②在平移过程中，
AM
DM
的值为
k
2
k
2
（用含k的代数式表示）；
（2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算
AM
DM
的值；
（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转α度，0＜α≤90，原题中的其他条件保持不变．计算
AM
DM
的值（用含k的代数式表示）．
分析：（1）①根据题意可得EM垂直平分DF，直线AF∥EM，从而
AM
DM
转化为
DO
OF
，继而得出结论；②仿照①的思路进行求解即可；
（2）先补全图形，连接AE，分别求出AM及DM的值，然后可确定比值．
（3）先画出图形，然后证明△ABG≌△CBE，继而推出AG∥DE，△AGM∽△DEM，利用相似三角形的性质即可得出答案．
解答：解：（1）①如图，

∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，
∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，
∴
AM
DM
=
FO
OD
=1；
②如图

由①可得
AM
DM
=
HO
OD
=
HO
OF
=
EC
EF
=
k
2
；

（2）连接AE，

∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，DE=2，AB=1，
∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°
∴DF=2
2
，AC=
2
，∠EFB=90°，
∴DF=2AC，AD=
2
，
∴点A为CD的中点，
∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，
∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=
2
，
∵∠BEM=45°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，
∴∠1=∠3，
∴△AEM∽△FEB，
∴
AM
BF
=
AE
EF
，
∴AM=
2
2
，
∴DM=AD-AM=
2
-
2
2
=
2
2
，
∴
AM
DM
=1．

（3）过B作BE的垂线交直线EM于点G，连接AG、BG，
，
∴∠EBG=90°，
∵∠BEM=45°，
∴∠EGB=∠BEM=45°，
∴BE=BG，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ABG≌△CBE，
∴AG=EC=k，∠3=∠4，
∵∠3+∠6=∠5+∠4=45°，
∴∠6=∠5，
∴AG∥DE，
∴△AGM∽△DEM，
∴
AM
DM
=
AG
DE
=
k
2
．
点评：本题考查了相似形综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质，考察的知识点比较多，难度较大，解答本题之前一定要将图形画出来，这样可以使我们的思考方向更准确一些，另外要求我们熟练掌握各个基础知识点的内容．
练习册系列答案
相关题目
30、如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．
（1）在图1中，你发现线段AC、BD的数量关系是
相等
；直线AC、BD相交成角的度数是
90°
．
（2）将图1的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图2中画出旋转后的△OAB．
（3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，连接AC、BD得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．
（2011•裕华区二模）如图①，将两个等腰直角三角形叠放在一起，使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合，并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转，在旋转过程中，当下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系．
（1）实验与操作：
如图②，如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形，观察这三个正方形的面积之间的关系；
（2）猜想与探究：
如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
我们来证明线段CD与线段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

请你继续解答：
①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
（3）拓广与运用：
如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．

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如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
我们来证明线段CD与线段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

请你继续解答：
①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
（3）拓广与运用：
如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．
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我们来证明线段CD与线段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

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②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
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