题目内容

(1)当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时,四边形DFAE为哪种特殊的四边形?为什么?
(2)在(1)的条件下,求线段DF的长(结果用根号表示);
(3)在BC边上是否存在一点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似?若存在,求出相似比;若不存在,说明理由.
分析:(1)由△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形,根据等腰三角形的性质得到DE=DF,再根据折叠的性质得DE=EA,FD=FA,因此DE=DF=FA=AF;
(2)设DF=x,则DE=AE=x,而AB=2BC=4,得到∠A=30°,AC=
BC=2
,利用DE∥AC,得DE:AC=BE:BA,即x:2
=(4-x):4,解出即可;
(3)假设存在一点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似,则∠FDE=∠A=30°,∠B=60°,分类推论:当∠BED=∠FDE=30°,得∠BDE=90°,则∠DEF=90°,这与平角为180°相矛盾,同理当∠BDE=∠FDE=30°,也存在矛盾,于是不存在一点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似.
(2)设DF=x,则DE=AE=x,而AB=2BC=4,得到∠A=30°,AC=
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(3)假设存在一点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似,则∠FDE=∠A=30°,∠B=60°,分类推论:当∠BED=∠FDE=30°,得∠BDE=90°,则∠DEF=90°,这与平角为180°相矛盾,同理当∠BDE=∠FDE=30°,也存在矛盾,于是不存在一点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似.
解答:解:(1)四边形DFAE为菱形.理由如下:
∵△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形,
∴DE=DF,
又∵△DEF由△AEF折叠得到,
∴DE=EA,FD=FA,
∴DE=DF=FA=AF,
∴四边形DFAE为菱形.
(2)设DF=x,
∵四边形DFAE为菱形,
∴DE=AE=x,
而AB=2BC=4,
∴∠A=30°,
∴AC=
BC=2
,
而DE∥AC,
∴DE:AC=BE:BA,即x:2
=(4-x):4,解得x=8
-12,
∴线段DF的长为8
-12.
(3)不存在.理由如下:
假设存在一点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似,
∵∠FDE=∠A=30°,∠B=60°,
当∠BED=∠FDE=30°,
∴∠BDE=90°,
∴∠DEF=90°,
∴∠FEA=90°,这与平角为180°相矛盾,
同理当∠BDE=∠FDE=30°,也存在矛盾,
所以不存在一点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似.
∵△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形,
∴DE=DF,
又∵△DEF由△AEF折叠得到,
∴DE=EA,FD=FA,
∴DE=DF=FA=AF,
∴四边形DFAE为菱形.
(2)设DF=x,
∵四边形DFAE为菱形,
∴DE=AE=x,
而AB=2BC=4,
∴∠A=30°,
∴AC=
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而DE∥AC,
∴DE:AC=BE:BA,即x:2
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∴线段DF的长为8
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(3)不存在.理由如下:
假设存在一点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似,
∵∠FDE=∠A=30°,∠B=60°,
当∠BED=∠FDE=30°,
∴∠BDE=90°,
∴∠DEF=90°,
∴∠FEA=90°,这与平角为180°相矛盾,
同理当∠BDE=∠FDE=30°,也存在矛盾,
所以不存在一点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似.
点评:本题考查了相似三角形的性质;也考查了菱形和折叠的性质以及含30度的直角三角形三边的关系.

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