题目内容

如图，梯子AB斜靠在墙上，∠ACB=90°，AB=5米，BC=4米，当点B下滑到点B′时，点A向左平移到点A′．设BB′=x米（0＜x＜4），AA′=y米．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）当x为何值时，点B下滑的距离与点A向左平移的距离相等？
（3）请你对x再取几个值，计算出对应的y值，并比较对应的y值与x值的大小（y值可以用精确到0.01的近似数表示，也可用无理数表示）．
（4）根据第（1）～（3）题的计算，还可以结合画图、观察，推测y与x的大小关系及对应的x的取值范围．

解：（1）在Rt△A′CB′中，B′C=4-x，则A′C= $\text{[math]}$ ，所以y= $\text{[math]}$ ；

（2）由题意得解之得 $\text{[math]}$ ，x₁=1，x₂=0（舍去），
所以当x=1时，点B下滑的距离与点A向左平移的距离相等；

（3）提供下列数据供参考：

x	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
y	0.13	0.25	0.36	0.47	0.57	0.67	0.76	0.84	0.92	1.00
x	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	2
y	1.07	1.14	1.21	0.27	0.33	0.39	0.44	1.49	1.54	1.58
x	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.6	2.7	2.8	2.9	3
y	1.62	1.66	1.70	1.74	1.77	1.80	1.83	1.85	1.88	1.90
x	3.1	3.2	3.3	3.4	3.5	3.6	3.7
y	1.92	1.94	1.95	1.96	1.97	1.98	1.99

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	2	3
y	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（4）当0＜x＜1，y＞x；当x=1时，y=x；当1＜x＜4时，y＜x．
分析：（1）在梯子滑动的过程中，梯子的长不会发生变化，可分别用x、y表示出B′C、A′C的长，进而由勾股定理求得x、y的函数关系式；
（2）令（1）的函数关系式中x=y，即可求得此时x的值；
（3）根据（1）的函数关系式进行求解即可；
（4）根据（2）、（3）的数据即可判断出（1）所得函数在不同区间的增减性．
点评：此题主要考查了勾股定理的实际应用，利用好梯子在滑动过程中长度不变的隐含条件是解答此题的关键．