题目内容

(2012•自贡)如图,抛物线l交x轴于点A(-3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,-3).将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1
(1)求l1的解析式;
(2)在l1的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大,并说出理由;
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点,若以EF为直径的圆恰与x轴相切,求此圆的半径.
分析:(1)首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线l1的解析式;
(2)如图2所示,连接B1C并延长,与对称轴x=1交于点P,则点P即为所求.利用轴对称的性质以及三角形三边关系(三角形两边之差小于第三边)可以证明此结论.为求点P的坐标,首先需要求出直线B1C的解析式;
(3)如图3所示,所求的圆有两个,注意不要遗漏.解题要点是利用圆的半径表示点F(或点E)的坐标,然后代入抛物线的解析式,解一元二次方程求出此圆的半径.
解答:解:(1)如图1所示,设经翻折后,点A、B的对应点分别为A1、B1
依题意,由翻折变换的性质可知A1(3,0),B1(-1,0),C点坐标不变,
因此,抛物线l1经过A1(3,0),B1(-1,0),C(0,-3)三点,
设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c,则有:
9a+3b+c=0
a-b+c=0
c=-3

解得a=1,b=-2,c=-3,
故抛物线l1的解析式为:y=x2-2x-3.

(2)抛物线l1的对称轴为:x=-
b
2a
=1,
如图2所示,连接B1C并延长,与对称轴x=1交于点P,则点P即为所求.
此时,|PA1-PC|=|PB1-PC|=B1C.
设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点,则有:
|P′A1-P′C|=|P′B1-P′C|<B1C(三角形两边之差小于第三边),
故|P′B1-P′C|<|PA1-PC|,即|PA1-PC|最大.
设直线B1C的解析式为y=kx+b,则有:
-k+b=0
b=-3
,解得k=b=-3,
故直线B1C的解析式为:y=-3x-3.
令x=1,得y=-6,
故P(1,-6).

(3)依题意画出图形,如图3所示,有两种情况.
①当圆位于x轴上方时,设圆心为D,半径为r,
由抛物线及圆的对称性可知,点D位于对称轴x=1上,
则D(1,r),F(1+r,r).
∵点F(1+r,r)在抛物线y=x2-2x-3上,
∴r=(1+r)2-2(1+r)-3,化简得:r2-r-4=0
解得r1=
17
+1
2
,r2=
-
17
+1
2
(舍去),
∴此圆的半径为
17
+1
2

②当圆位于x轴下方时,同理可求得圆的半径为
17
-1
2

综上所述,此圆的半径为
17
+1
2
17
-1
2
点评:本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质、三角形三边关系、圆的相关性质等,涉及考点较多,有一定的难度.第(2)问中,注意是“两线段之差最大”而不是“两线段之和最大”,后者比较常见,学生们已经有大量的训练基础,而前者接触较少,但二者道理相通;第(3)问中,首先注意圆有2个,不要丢解,其次注意利用圆的半径表示点的坐标,运用方程的思想求出圆的半径.
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