题目内容

如图1所示,等边△ABC中,AD是BC边上的中线,根据等腰三角形的“三线合一”特性,AD平分∠BAC,且AD⊥BC,则有∠BAD=30°,BD=CD=
1
2
AB
.于是可得出结论“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”.

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题:
(1)△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,AB=a,则BC=
a
2
a
2

(2)如图2所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线交AB于点D,垂足为E,当BD=5cm,∠B=30°时,△ACD的周长=
15cm
15cm

(3)如图3所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,那么BE:EA=
3:1
3:1

(4)如图4所示,在等边△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且∠CAD=∠ABE,AD、BE交于点P,作BQ⊥AD于Q,猜想PB与PQ的数量关系,并说明理由.
分析:(1)根据三角形内角和定理推知∠A=30,∠C=90°.
(2)根据线段垂直平分线的性质知CD=BD,则△ACD的周长等于AC+AB;
(3)如图3,连接AD.利用等腰三角形的性质、垂直的定义推知∠B=∠ADE=30°,然后由”30度角所对的直角边是斜边的一半“分别求得BE、AE的值;
(4)如图4,根据全等三角形的判定定理SAS可判断两个三角形全等;根据全等三角形的对应角相等,以及三角形外角的性质,可以得到∠PBQ=30°,根据直角三角形的性质即可得到.
解答:解:

(1)∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,且∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=30,∠C=90°,
∴BC=
1
2
AB=
a
2

故填:
a
2


(2)如图2,∵DE是线段BC的垂直平分线,∠ACB=90°,
∴CD=BD,AD=BD.
又∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴AC=
1
2
AB,
∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm.
故填:15cm;

(3)如图3,连接AD.
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中点,
∴∠BAD=60°.
又∵DE⊥AB,
∴∠B=∠ADE=30°,
∴BE=
3
2
BD,AE=
1
2
AD,
∴BE:EA=
3
2
BD:
1
2
AD,
又∵BD=
3
AD,
∴BE:AE=3:1.
故填:3:1.

(4)BP=2PQ.理由如下:
∵△ABC为等边三角形.
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,
在△BAE和△ACD中,
AE=CD
∠BAC=∠ACB
AB=AC

∴△BAE≌△ACD(SAS),
∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BPQ为△ABP外角,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD.
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ.
点评:本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质.直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
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