题目内容
(2012•黄石)如图1所示:等边△ABC中,线段AD为其内角角平分线,过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1.
(1)请你探究:
=
,
=
是否都成立?
(2)请你继续探究:若△ABC为任意三角形,线段AD为其内角角平分线,请问
=
一定成立吗?并证明你的判断.
(3)如图2所示Rt△ABC中,∠ACB=90?,AC=8,AB=
,E为AB上一点且AE=5,CE交其内角角平分线AD于F.试求
的值.
(1)请你探究:
AC |
AB |
CD |
DB |
AC1 |
AB1 |
C1D |
DB1 |
(2)请你继续探究:若△ABC为任意三角形,线段AD为其内角角平分线,请问
AC |
AB |
CD |
DB |
(3)如图2所示Rt△ABC中,∠ACB=90?,AC=8,AB=
40 |
3 |
DF |
FA |
分析:(1)根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC,∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC,则DB=CD,易得
=
;由于∠C1AB1=60°,得∠B1=30°,则AB1=2AC1,同理可得到DB1=2DC1,易得
=
;
(2)过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点,根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD,则BE=AB,并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD,得到
=
,而BE=AB,于是有
=
,这实际是三角形的角平分线定理;
(3)AD为△ABC的内角角平分线,由(2)的结论得到
=
=
=
,
=
=
,又
=
=
,则有
=
,得到DE∥AC,根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF,即有
∴
=
=
.
AC |
AB |
CD |
DB |
AC1 |
AB 1 |
C1D |
DB1 |
(2)过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点,根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD,则BE=AB,并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD,得到
AC |
BE |
CD |
DB |
AC |
AB |
CD |
DB |
(3)AD为△ABC的内角角平分线,由(2)的结论得到
CD |
DB |
AC |
AB |
8 | ||
|
3 |
5 |
EF |
FC |
AE |
AC |
5 |
8 |
AE |
EB |
5 | ||
|
3 |
5 |
CD |
DB |
AE |
EB |
∴
DF |
AF |
EF |
CF |
5 |
8 |
解答:解:(1)两个等式都成立.理由如下:
∵△ABC为等边三角形,AD为角平分线,
∴AD垂直平分BC,∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC,
∴DB=CD,
∴
=
;
∵∠C1AB1=60°,
∴∠B1=30°,
∴AB1=2AC1,
又∵∠DAB1=30°,
∴DA=DB1,
而DA=2DC1,
∴DB1=2DC1,
∴
=
;
(2)结论仍然成立,理由如下:
如右图所示,△ABC为任意三角形,过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点,
∴∠E=∠CAD=∠BAD,
∴BE=AB,
∵BE∥AC,
∴△EBD∽△ACD,
∴
=
而BE=AB,
∴
=
;
(3)如图,连DE,
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴
=
=
=
,
=
=
,
又∵
=
=
,
∴
=
,
∴DE∥AC,
∴△DEF∽△ACF,
∴
=
=
.
∵△ABC为等边三角形,AD为角平分线,
∴AD垂直平分BC,∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC,
∴DB=CD,
∴
AC |
AB |
CD |
DB |
∵∠C1AB1=60°,
∴∠B1=30°,
∴AB1=2AC1,
又∵∠DAB1=30°,
∴DA=DB1,
而DA=2DC1,
∴DB1=2DC1,
∴
AC1 |
AB 1 |
C1D |
DB1 |
(2)结论仍然成立,理由如下:
如右图所示,△ABC为任意三角形,过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点,
∴∠E=∠CAD=∠BAD,
∴BE=AB,
∵BE∥AC,
∴△EBD∽△ACD,
∴
AC |
EB |
CD |
BD |
而BE=AB,
∴
AC |
AB |
CD |
DB |
(3)如图,连DE,
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴
CD |
DB |
AC |
AB |
8 | ||
|
3 |
5 |
EF |
FC |
AE |
AC |
5 |
8 |
又∵
AE |
EB |
5 | ||
|
3 |
5 |
∴
CD |
DB |
AE |
EB |
∴DE∥AC,
∴△DEF∽△ACF,
∴
DF |
AF |
EF |
CF |
5 |
8 |
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质:平行于三角形一边的直线被其它两边所截,所截得的三角形与原三角形相似;相似三角形对应边的比相等.也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质.
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