题目内容
如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B,且OA=OB=1.这条曲线是函数y=
的图象在第一象限的一个分支,点P是这条曲线上任意一点,它的坐标是(a、b),由点P向x轴、y轴作垂线PM、PN,垂足是M、N,直线AB分别交PM、PN于点E、F.
(1)点E坐标是
(2)求△OEF的面积(结果用含a、b的代数式表示);
(3)△AOF与△BOE是否相似?若相似,请证明;若不相似,请简要说明理由.
(4)当点P在曲线y=
上移动时,△OEF随之变动,指出在△OEF的三个内角中,大小始终保持不变的那个角,并求出此角的大小,同时证明你的结论.
1 |
2x |
(1)点E坐标是
(a,1-a)
(a,1-a)
,点F坐标是(1-b,b)
(1-b,b)
(用含a的代数式表示点E的坐标,用含b的代数式表示点F的坐标)(2)求△OEF的面积(结果用含a、b的代数式表示);
(3)△AOF与△BOE是否相似?若相似,请证明;若不相似,请简要说明理由.
(4)当点P在曲线y=
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2x |
分析:(1)由PM与x轴垂直,E在PM上,得到E的横坐标与P相同,同理F的纵坐标与P相同,求出直线AB的解析式,将E的横坐标及F的纵坐标分别代入,即可确定出E与F的坐标;
(2)三角形EOF的面积=三角形AOB的面积-三角形BOF的面积-三角形AOE的面积,表示即可;
(3)根据题意易知∠A=∠B,要证△AOF与△BOE相似,只证夹边对应成比例即可;
(4)应用三角形内角和定理及内外角关系可求∠EOF=45°是一定值,即解.
(2)三角形EOF的面积=三角形AOB的面积-三角形BOF的面积-三角形AOE的面积,表示即可;
(3)根据题意易知∠A=∠B,要证△AOF与△BOE相似,只证夹边对应成比例即可;
(4)应用三角形内角和定理及内外角关系可求∠EOF=45°是一定值,即解.
解答:解:(1)根据题意,易知:直线AB的解析式为y=-x+1,
点E的坐标是(a,1-a),点F的坐标是(1-b,b);
故答案为:(a,1-a);(1-b,b);
(2)∵OA=OB=1,NF=1-b,EM=1-a,
∴S△EOF=S△AOB-S△AOE-S△BOF
=
×1×1-
×1×(1-a)-
×1×(1-b)=
;
(3)△AOF和△BEO一定相似,理由为:
证明:∵OA=OB=1,
∴∠OAF=∠EBO,
∴BE=BA-AE=
-
=
a,
AF=BA-BF=
-
=
b,
∵点P是函数y=
图象上任意一点,
∴b=-
,即2ab=1,
∴
a•
b=1,
又∵OB•OA=1,
∴AF•BE=OB•OA,即
=
,
∴△AOF∽△BEO;
(4)当点P在曲线上移动时,在△OEF中,∠EOF一定等于45°,
由(3)知,△AOF∽△BEO,
∴∠AFO=∠BOE,
在△BOF中,∠AFO=∠BOF+∠B,而∠BOE=∠BOF+∠EOF,
∴∠EOF=∠B=45°.
点E的坐标是(a,1-a),点F的坐标是(1-b,b);
故答案为:(a,1-a);(1-b,b);
(2)∵OA=OB=1,NF=1-b,EM=1-a,
∴S△EOF=S△AOB-S△AOE-S△BOF
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
a+b-1 |
2 |
(3)△AOF和△BEO一定相似,理由为:
证明:∵OA=OB=1,
∴∠OAF=∠EBO,
∴BE=BA-AE=
2 |
(1-a)2+(1-a)2 |
2 |
AF=BA-BF=
2 |
(1-b)2+(1-b)2 |
2 |
∵点P是函数y=
1 |
2x |
∴b=-
1 |
2a |
∴
2 |
2 |
又∵OB•OA=1,
∴AF•BE=OB•OA,即
AF |
OB |
OA |
BE |
∴△AOF∽△BEO;
(4)当点P在曲线上移动时,在△OEF中,∠EOF一定等于45°,
由(3)知,△AOF∽△BEO,
∴∠AFO=∠BOE,
在△BOF中,∠AFO=∠BOF+∠B,而∠BOE=∠BOF+∠EOF,
∴∠EOF=∠B=45°.
点评:此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:坐标与图形性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,外角性质,以及反比例函数的性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
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