Question

9、设k为实数，关于x的一元二次方程x²+kx+k+1=0的两个实根分别为x₁，x₂，若x₁+2x₂²=k，则k=

5

．

Answer 1

分析：k为实数，关于x的一元二次方程x²+kx+k+1=0的两个实根分别为x₁，x₂，根据根与系数的关系列出关于k的等式即可得出答案．

解答：解：∵x的一元二次方程x²+kx+k+1=0的两个实根分别为x_1、x₂，
∴x₂²+kx₂+k+1=0，
∴x₂²=-（kx₂+k+1）     ①
根据韦达定理：
x₁+x₂=-k               ②
x₁x₂=k+1               ③
∵x₂²=x₂²+x₁x₂-x₁x₂，
=（x₁+x₂）x₂-x₁x₂
=-kx₂-k-1，
∴x₁+2x₂²=k，即 （2k+1）（2+x₂）=0
∴k=-0.5或x₂=-2
∵k=-0.5时，
△=（-0.5）2-4×1×（-0.5+1），
=0.25-2，
=-1.75＜0
∴x₂=-2，
把x₂=-2代入原方程x²+kx+k+1=0，得
4-2k+k+1=0，
解得k=5，
检验：△=52-4×1×（5+1）=1＞0，
∴k=5．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．