Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a-b+1＞0．其中正确的结论是

 

（填写序号）

Answer 1

分析：先根据图象与x轴的交点及与y轴的交点情况画出草图，再由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：∵图象与x轴交于点（-2，0），（x₁，0），与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方
∴a＜0，c＞0，
又∵图象与x轴交于点（-2，0），（x₁，0），且1＜x₁＜2，
∴对称轴在y轴左侧，对称轴为x=-

b

2a

＜0，
∴b＜0，
∵图象与x轴交于点（-2，0），（x₁，0），且1＜x₁＜2，
∴对称轴

-2+1

2

＜-

b

2a

＜

-2+2

2

，
∴a＜b＜0，
由图象可知：当x=-2时y=0，
∴4a-2b+c=0，
整理得4a+c=2b，
又∵b＜0，
∴4a+c＜0．
∵当x=-2时，y=4a-2b+c=0，
∴2a-b+

c

2

=0，
而与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，
∴0＜

c

2

＜1，
∴2a-b+1＞0，
∵0=4a-2b+c，
∴2b=4a+c＜0
而x=1时，a+b+c＞0，
∴6a+3c＞0，
即2a+c＞0，
∴正确的有①②③④．
故填空答案：①②③④．

点评：此题主要考查了二次函数的图象与性质，尤其是图象的开口方向，对称轴方程，及于y轴的交点坐标与a，b，c的关系．