题目内容

(1)求证:OA2=OC•OD;
(2)如果AC+BC=
3 |
3 |
分析:(1)欲证OA2=OC•OD,通过证明△AOC∽△DOA可以得出;
(2)因为AC+BC=
OC,⊙O的半径为r,欲证AB=
r,只需证明(AC+BC):OC=AB:OA;通过证明△AOC∽△DOA,△OBD∽△OCB,得出比例形式相加,即可得出.
(2)因为AC+BC=
3 |
3 |
解答:
证明:(1)连接OB.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∵∠OCA=∠OBA,
∴∠OAB=∠OCA.
∵∠AOC=∠DOA,
∴△AOC∽△DOA.
∴
=
,
∴OA2=OC•OD.
(2)∵△AOC∽△DOA,
∴
=
.
同理可得,
=
.
∴
+
=
+
,
即
=
.
∵AC+BC=
OC,OA=r,
∴AB=
r.

∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∵∠OCA=∠OBA,
∴∠OAB=∠OCA.
∵∠AOC=∠DOA,
∴△AOC∽△DOA.
∴
OA |
OD |
OC |
OA |
∴OA2=OC•OD.
(2)∵△AOC∽△DOA,
∴
AC |
OC |
DA |
OA |
同理可得,
BC |
OC |
DB |
OB |
∴
AC |
OC |
BC |
OC |
DA |
OA |
DB |
OB |
即
AC+BC |
OC |
AB |
OA |
∵AC+BC=
3 |
∴AB=
3 |
点评:本题考查了相似三角形的性质.特别注意:第(2)小题构思巧妙,解答此类题关键是综合两个相似比,得出结论.

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