题目内容
如图，⊙O与⊙O1相交于A、B两点，点O在⊙On上，⊙On的弦OC交AB于点D．（1）求证：OA2=OC•OD；
（2）如果AC+BC=
| 3 |
| 3 |
分析：（1）欲证OA2=OC•OD，通过证明△AOC∽△DOA可以得出；
（2）因为AC+BC=
OC，⊙O的半径为r，欲证AB=
r，只需证明（AC+BC）：OC=AB：OA；通过证明△AOC∽△DOA，△OBD∽△OCB，得出比例形式相加，即可得出．
（2）因为AC+BC=
| 3 |
| 3 |
解答：
证明：（1）连接OB．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠OCA=∠OBA，
∴∠OAB=∠OCA．
∵∠AOC=∠DOA，
∴△AOC∽△DOA．
∴
=
，
∴OA2=OC•OD．
（2）∵△AOC∽△DOA，
∴
=
．
同理可得，
=
．
∴
+
=
+
，
即
=
．
∵AC+BC=
OC，OA=r，
∴AB=
r．
证明：（1）连接OB．∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠OCA=∠OBA，
∴∠OAB=∠OCA．
∵∠AOC=∠DOA，
∴△AOC∽△DOA．
∴
| OA |
| OD |
| OC |
| OA |
∴OA2=OC•OD．
（2）∵△AOC∽△DOA，
∴
| AC |
| OC |
| DA |
| OA |
同理可得，
| BC |
| OC |
| DB |
| OB |
∴
| AC |
| OC |
| BC |
| OC |
| DA |
| OA |
| DB |
| OB |
即
| AC+BC |
| OC |
| AB |
| OA |
∵AC+BC=
| 3 |
∴AB=
| 3 |
点评：本题考查了相似三角形的性质．特别注意：第（2）小题构思巧妙，解答此类题关键是综合两个相似比，得出结论．
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| ||
B、
| ||
C、2
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D、2
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