题目内容

【题目】已知:在O中,AB是直径,AC是弦,OEAC于点E,过点C作直线FC,使FCA=AOE,交AB的延长线于点D.

(1)求证:FD是O的切线;

(2)设OC与BE相交于点G,若OG=2,求O半径的长;

(3)在(2)的条件下,当OE=3时,求图中阴影部分的面积.

【答案】1)证明见解析(2)6;(3

【解析】

试题分析:(1)要证FD是O的切线只要证明OCF=90°即可;

(2)根据已知证得OEG∽△CBG根据相似比不难求得OC的长;

(3)根据S阴影=SOCD﹣S扇形OBC从而求得阴影的面积.

证明:(1)连接OC(如图①),

OA=OC

∴∠1=A

OEAC

∴∠A+AOE=90°

∴∠1+AOE=90°

∵∠FCA=AOE

∴∠1+FCA=90°

OCF=90°

FDO的切线.

(2)连接BC,(如图②)

OEAC

AE=EC(垂径定理).

AO=OB

OEBC

∴∠OEG=GBC(两直线平行,内错角相等),

EOG=GCB(两直线平行,内错角相等),

∴△OEG∽△CBG(AA).

OG=2

CG=4

OC=OG+GC=2+4=6

O半径是6.

(3)OE=3,由(2)知BC=2OE=6,

OB=OC=6

∴△OBC是等边三角形.

∴∠COB=60°

在RtOCD中,CD=OC×tan60°=6

S阴影=SOCD﹣S扇形OBC==

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