题目内容
（2013•保定一模）如图1，图2所示，直线l：y=x+b过点P，点P自原点O开始，沿x轴正半轴以每秒1个单位的速度运动．设运动时间为t（s），（0≤t≤7）．直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3）．直线l与折线DC-CB交于N，与折线DA-AB交于M，与y轴交于点Q．设△BMN的面积为S．
（1）用含t的代数式表示b；
（2）确定S与t之间的函数关系式；
（3）t为何值时，S最大；
（4）t为何值时，S等于梯形ABCD面积的一半；
（5）直接写出t为何值时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．
（1）用含t的代数式表示b；
（2）确定S与t之间的函数关系式；
（3）t为何值时，S最大；
（4）t为何值时，S等于梯形ABCD面积的一半；
（5）直接写出t为何值时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．
分析：（1）设P（t，0），将P点的坐标代入解析式y=x+b就可以求出结论；
（2）当0≤t≤1和1≤t≤7两种情况，根据三角形的面积公式就可以求出其函数解析式；
（3）分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7由二次函数的解析式和一次函数的解析式的性质就可以求出S的最大值；
（4）先由条件计算梯形ABCD的面积，再分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7时表示出面积建立方程求出其解即可；
（5）当△POQ∽△PCB和△POQ∽△CPB时根据相似三角形的性质就可以求出t值．
（2）当0≤t≤1和1≤t≤7两种情况，根据三角形的面积公式就可以求出其函数解析式；
（3）分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7由二次函数的解析式和一次函数的解析式的性质就可以求出S的最大值；
（4）先由条件计算梯形ABCD的面积，再分两种情况0≤t≤1和1≤t≤7时表示出面积建立方程求出其解即可；
（5）当△POQ∽△PCB和△POQ∽△CPB时根据相似三角形的性质就可以求出t值．
解答：解：（1）∵y=x+b过点P，且P（t，0），
∴0=t+b，
∴b=-t；
（2）∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3），
∴D（1，3）
∴AD=CD=3，AB=7-1=6．
∵y=x+b，当x=0时，y=b，当y=0时，x=-b，
∴OP=|-b|，OQ=|b|，
∴OP=OQ，
∴∠NPB=∠OPQ=45°．
过点C作CK⊥AB于K，
∴BK=7-4=3，CK=AD=3，
∴Rt△CKB为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°．
①当0≤t≤1时，∠NPB=∠PMA=∠DMN=∠DNM=45°，AP=AM=1-t，
∴BQ=7-t，
∴S=S△NBP-S△PMB=
（7-t）×3-
（1-t）（7-t），
=
（7-t）（2+t），
=-
t2+
t+7
②当1≤t≤7时，M与P重合，AP=AM=t-1，
∵∠NPB=∠CBO=45°，
∴△NPB是等腰直角三角形，过N作NE⊥AB于E，
∴NE=
PB=
（7-t），
∴S=
×（7-t）×
（7-t），
=
（7-t）2；
（3）①当0≤t≤1时，
S=-
t2+
t+7，
=-
（t-
）2+
，
∵a=-
＜0，
∴抛物线的开口向下．
∴在对称轴的左侧，S随t的增大而增大．
∵对称轴为直线t=
，
∴t=1时，S最大=9；
②当1≤t≤7时，
S=
（t-7）2；
∵a=
＞0，
∴抛物线的开口向上．
∴在对称轴的左侧，S随t的增大而减小．
∵对称轴为直线t=7，
∴t=1时，S最大=9，
综上所述，t=1时，S最大=9；
（4）由题意，得
S梯形ABCD=
（3+6）×3=
．
①当0≤t≤1时
S=-
（t-
）2+
=
，
解得：t=
不符合0≤t≤1（舍去），
②当1≤t≤7时，
S=
（t-7）2=
，
解得：t=7±3
∵1≤t≤7，
∴t=7-3
．
（5）当△POQ∽△PCB时，
∴
=
，
如图1，在△CBK中，由勾股定理，得
BC=3
，
∵OP=t，PQ=
t，BP=7-t，
∴
=
，
解得：t1=0（舍去），t2=1；
当△POQ∽△CPB时，
∴∠POQ=∠BPC=90°，
∴CP⊥AB，
∴PC=3，
∴AP=3，
∴OP=4，
∴t=4．
∴t=1，4时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．
∴0=t+b，
∴b=-t；
（2）∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠D=90°，A（1，O），B（7，0），C（4，3），
∴D（1，3）
∴AD=CD=3，AB=7-1=6．
∵y=x+b，当x=0时，y=b，当y=0时，x=-b，
∴OP=|-b|，OQ=|b|，
∴OP=OQ，
∴∠NPB=∠OPQ=45°．
过点C作CK⊥AB于K，
∴BK=7-4=3，CK=AD=3，
∴Rt△CKB为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°．
①当0≤t≤1时，∠NPB=∠PMA=∠DMN=∠DNM=45°，AP=AM=1-t，
∴BQ=7-t，
∴S=S△NBP-S△PMB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
②当1≤t≤7时，M与P重合，AP=AM=t-1，
∵∠NPB=∠CBO=45°，
∴△NPB是等腰直角三角形，过N作NE⊥AB于E，
∴NE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 4 |
（3）①当0≤t≤1时，
S=-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
=-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 81 |
| 8 |
∵a=-
| 1 |
| 2 |
∴抛物线的开口向下．
∴在对称轴的左侧，S随t的增大而增大．
∵对称轴为直线t=
| 5 |
| 2 |
∴t=1时，S最大=9；
②当1≤t≤7时，
S=
| 1 |
| 4 |
∵a=
| 1 |
| 4 |
∴抛物线的开口向上．
∴在对称轴的左侧，S随t的增大而减小．
∵对称轴为直线t=7，
∴t=1时，S最大=9，
综上所述，t=1时，S最大=9；
（4）由题意，得
S梯形ABCD=
| 1 |
| 2 |
| 27 |
| 2 |
①当0≤t≤1时
S=-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 81 |
| 8 |
| 27 |
| 4 |
解得：t=
5±3
| ||
| 2 |
②当1≤t≤7时，
S=
| 1 |
| 4 |
| 27 |
| 4 |
解得：t=7±3
| 3 |
∵1≤t≤7，
∴t=7-3
| 3 |
（5）当△POQ∽△PCB时，
∴
| PO |
| PC |
| OQ |
| CB |
如图1，在△CBK中，由勾股定理，得
BC=3
| 2 |
∵OP=t，PQ=
| 2 |
∴
| ||
| 7-t |
| t | ||
3
|
解得：t1=0（舍去），t2=1；
当△POQ∽△CPB时，
∴∠POQ=∠BPC=90°，
∴CP⊥AB，
∴PC=3，
∴AP=3，
∴OP=4，
∴t=4．
∴t=1，4时，△POQ与以P，B，C为顶点的三角形相似．
点评：本题考查直角梯形的面积公式的运用，二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．
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