Question

如图18-1所示，已知二次函数与x轴分别交于点A（2，0）、
B（4，0），与y轴交于点C（0，-8t）（t＞0）
【小题1】求a、c的值及抛物线顶点D的坐标（用含t的代数式表示）；
【小题2】如图18-1，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数t的值；
【小题3】如图18-2，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，－4）、（4，－3），边HG位于边EF的右侧．若点P是边EF或边FG上的任意一点（不与E、F、G重合），请你说明以PA、PB、PC、PD的长度为边长不能构成平行四边形；
【小题4】将（3）中的正方形EFGH水平移动，若点P是正方形边FG或EH上任意一点，在水平移动过程中，是否存在点P，使以PA、PB、PC、PD的长度为边长构成平行四边形，其中PA、PB为对边．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】把点A、C的坐标（2，0）、（0，－8t）代人抛物线y=ax²－6ax+c得，
，解得 ，                 ……………………2分
该抛物线为y=x²+6tx－8t=（x－3）² + t．
∴顶点D坐标为（3，t）                              ……………………3分
【小题2】如图9，设抛物线对称轴与x轴交点为M，则AM＝1．

由题意得：O′A=OA=2．
∴O′A=2AM，∴∠O′AM＝60°．
∴∠O′AC＝∠OAC＝60°                         
∴在Rt△OAC中：
∴OC=，
即．∴．       …………………6分
【小题3】①如图10所示，设点P是边EF上的任意一点

（不与点E、F重合），连接PM．
∵点E（4，－4）、F（4，－3）与点B（4，0）在一直线上，
点C在y轴上，
∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．
又PD>PM>PB，PA>PM>PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．       …………………8分
②设P是边FG上的任意一点(不与点F、G重合)，
∵点F的坐标是（4，－3），点G的坐标是（5，－3）．
∴FB＝3，，∴3≤PB≤．
∵PC >4，∴PC >PB．
∴PB≠PA，PB≠PC．
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．       …………………9分
【小题4】t=或或1．                              …………………12分解析:

因为已知PA、PB为平行四边形对边，∴必有PA＝PB．
①假设点P为FG与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．
如图11所示，只有当PC＝PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

∵点C的坐标是（0，－8t），点D的坐标是（3， t），
又点P的坐标是（3，－3），
∴PC²＝3²＋(－3+8t)²，PD²＝(3＋t)²．
当PC＝PD时，有PC² =PD²
即3²＋(－3+8t)²=(3＋t)²．
整理得7t²－6t＋1＝0，
∴解方程得t=>0满足题意．
②假设当点P为EH与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．
如图12所示，只有当PC＝PD时，线段PA、PB、PC、PD

能构成一个平行四边形．
∵点C的坐标是（0，－8t），点D的坐标是（3， t），
点P的坐标是（3，－4），
∴PC²＝3²＋(－4+8t)²，PD²＝(4＋t)²．
当PC＝PD时，有PC² =PD²
即3²＋(－4+8t)²=(4＋t)²
整理得7t²－8t＋1＝0，
∴解方程得t =或1均大于>0满足题意．
综上所述，满足题意的t=或或1．