题目内容
【题目】如图所示，抛物线y=ax2﹣ 
x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y=2x﹣2于点C，且直线y=2x﹣2与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；
（2）求点A关于直线y=2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．
【答案】
（1）
解：把点O（0，0），A（6，0）代入y=ax2﹣ 
x+c，得 
，解得 
，
∴抛物线解析式为y= 
x2﹣ x．
当x=6时，y=2×6﹣2=10，
当y=0时，2x﹣2=0，解得x=1，
∴点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）
（2）
解：过点A′作AF⊥x轴于点F，
∵点D（1，0），A（6，0），可得AD=5，
在Rt△ACD中，CD= 
=5 
，
∵点A与点A′关于直线y=2x﹣2对称，
∴∠AED=90°，
∴S△ADC= 
×5 AE= ×5×10，
解得AE=2 ，
∴AA′=2AE=4 ，DE= 
= ，
∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，
∴△ADE∽△AA′F，
∴ 
= 
= 
，
解得AF=4，A′F=8，
∴OF=8﹣6=2，
∴点A′坐标为（﹣2，4），
当x=﹣2时，y= ×4﹣ ×（﹣2）=4，
∴A′在抛物线上
（3）
解：∵点P在抛物线上，则点P（x， x2﹣ x），
设直线A′C的解析式为y=kx+b，
∵直线A经过A′（﹣2，4），C（6，10）两点，
∴ 
，解得 
，
∴直线A′C的解析式为y= 
x+ 
，
∵点Q在直线A′C上，PQ∥AC，点Q的坐标为（x， x+ ），
∵PQ∥AC，又点Q在点P上方，
∴l=（ x+ ）﹣（ x2﹣ x）=﹣ x2+ 
x+ ，
∴l与x的函数关系式为l=﹣ x2+ x+ ，（﹣2＜x≤6），
∵l=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣ 
）2+ 
，
∴当x= 时，l的最大值为 ．
【解析】（1）把O、A代入抛物线解析式即可求出a、c，令y=0，即可求出D坐标，根据A、C两点横坐标相等，即可求出点C坐标．（2）过点A′作AF⊥x轴于点F，求出A′F、FO即可解决问题．（3）设点P（x， x2﹣ x），先求出直线A′C的解析式，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．本题考查二次函数的综合题、待定系数法，最值问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的性质，学会构建二次函数解决问题最值问题，属于中考压轴题．
【考点精析】掌握二次函数的最值是解答本题的根本，需要知道如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．
