Question

（2013•河北）一透明的敞口正方体容器ABCD-A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图1所示）．探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．
解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是

CQ∥BE

，BQ的长是

3

dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V_液=底面积S_△BCQ×高AB）
（3）求α的度数．（注：sin49°=cos41°=

3

4

，tan37°=

3

4

）

拓展：在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC=x，BQ=y．分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．
延伸：在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC．继续向右缓慢旋转，当α=60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm³．

Answer 1

分析：（1）根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的长；
（2）液体正好是一个以△BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积；
（3）根据液体体积不变，据此即可列方程求解；
延伸：当α=60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H，此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱，求得棱柱的体积，即可求得溢出的水的体积，据此即可作出判断．

解答：解：（1）CQ∥BE，BQ=

52-42

=3；

（2）V_液=

1

2

×3×4×4=24（dm³）；

（3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=

3

4

，
∴α=∠BCQ=37°．
当容器向左旋转时，如图3，0°≤α≤37°，
∵液体体积不变，
∴

1

2

（x+y）×4×4=24，
∴y=-x+3．
当容器向右旋转时，如图4．同理可得：y=

12

4-x

；
当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B′重合时，如图5，
由BB′=4，且

1

2

PB•BB′×4=24，得PB=3，
∴由tan∠PB′B=

3

4

，得∠PB′B=37°．
∴α=∠B′PB=53°．此时37°≤α≤53°；

延伸：当α=60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H．
在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°，
∴HB′=2

3

．
∴MG=BH=4-2

3

＜MN．
此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱．
∵S_△NFM+S_MBB′G=

1

2

×

3

3

×1+

1

2

（4-2

3

+4）×2=8-

11 3

6

．
∴V_溢出=24-4（8-

11 3

6

）=

22 3

3

-8＞4（dm³）．
∴溢出液体可以达到4dm³．

点评：本题考查了四边形的体积计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积的计算是关键．