题目内容

(1)写出C点的坐标;
(2)若动点N运动t秒,求Q点的坐标;(用含t的式子表示)
(3)其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(4)当t取何值时,△AMQ的面积最大;
(5)当t为何值时,△AMQ为等腰三角形.
分析:(1)由于等腰梯形是轴对称图形,根据O、A坐标可求出等腰梯形对称轴的解析式,进而可根据B点坐标和对称轴的解析式求出C点坐标.
(2)求Q点坐标,即求QP和OP的长,Q点横坐标即为B点横坐标减去NB的长,据此可求出Q点横坐标,Q点纵坐标可通过构建相似三角形来求解,过C作CE⊥OA于E,可根据QP∥CE得出的关于AP、AE、PQ、CE的比例关系式求出Q点纵坐.由此可得出Q点坐标.
(3)在②中已经求得了QP的长,AM的长易得出,据此可用三角形面积公式求出S,t的函数关系式.
(4)根据(3)得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值.
(5)本题要分三种情况讨论:
①QM=QA,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出MP=PA=
AM,可根据MP和AP的不同表达式求出t的值.
②AM=QA,可直接用表示AM的式子表示AQ,然后在直角三角形PAQ中,用勾股定理求出t的值;③QM=MA,同②.
(2)求Q点坐标,即求QP和OP的长,Q点横坐标即为B点横坐标减去NB的长,据此可求出Q点横坐标,Q点纵坐标可通过构建相似三角形来求解,过C作CE⊥OA于E,可根据QP∥CE得出的关于AP、AE、PQ、CE的比例关系式求出Q点纵坐.由此可得出Q点坐标.
(3)在②中已经求得了QP的长,AM的长易得出,据此可用三角形面积公式求出S,t的函数关系式.
(4)根据(3)得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值.
(5)本题要分三种情况讨论:
①QM=QA,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出MP=PA=
1 |
2 |
②AM=QA,可直接用表示AM的式子表示AQ,然后在直角三角形PAQ中,用勾股定理求出t的值;③QM=MA,同②.
解答:
解:(1)C(1,2).
(2)过C作CE⊥x轴于E,则CE=2
当动点N运动t秒时,NB=t
∴点Q的横坐标为3-t
设Q点的纵坐标为yQ
由PQ∥CE得
=
∴yQ=
∴点Q(3-t,
);
(3)点M以每秒2个单位运动,
∴OM=2t,AM=4-2t,
S△AMQ=
AM•PQ=
•(4-2t)•
=
(2-t)(t+1)
=-
(t2-t-2)
当t=2时,M运动到A点,△AMQ不存在,
∴t≠2,
∴t的取值范围是0≤t<2;
(4)由S△AMQ=-
(t2-t-2)=-
(t-
)2+
.
当t=
时,Smax=
;
(5)①若QM=QA
∵QP⊥OA,
∴MP=AP,
而MP=4-(1+t+2t)=3-3t,
即1+t=3-3t,
t=
,
∴当t=
时,△QMA为等腰三角形;
②若AQ=AM
AQ2=AP2+PQ2=(1+t)2+(
)2=
(1+t)2AQ=
,
AM=4-2t
(1+t)=4-2t,
t=
而0<
<2,
∴当t=
时,△QMA为等腰三角形;
③若MQ=MA
MQ2=MP2+PQ2
=(3-3t)2+(
)2=
t2-
t+
∴
t2-
t+
=(4-2t)2
t2-
t-
=0
解得t=
或t=-1(舍去)
∵0<
<2,
∴当t=
时,△QMA为等腰三角形;
综上所述:当t=
,t=
或t=
△QMA都为等腰三角形.

(2)过C作CE⊥x轴于E,则CE=2
当动点N运动t秒时,NB=t
∴点Q的横坐标为3-t
设Q点的纵坐标为yQ
由PQ∥CE得
yQ |
2 |
1+t |
3 |
∴yQ=
2+2t |
3 |
∴点Q(3-t,
2+2t |
3 |
(3)点M以每秒2个单位运动,
∴OM=2t,AM=4-2t,
S△AMQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
2+2t |
3 |
=
2 |
3 |
=-
2 |
3 |
当t=2时,M运动到A点,△AMQ不存在,
∴t≠2,
∴t的取值范围是0≤t<2;
(4)由S△AMQ=-
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
2 |
当t=
1 |
2 |
3 |
2 |
(5)①若QM=QA
∵QP⊥OA,
∴MP=AP,
而MP=4-(1+t+2t)=3-3t,
即1+t=3-3t,
t=
1 |
2 |
∴当t=
1 |
2 |
②若AQ=AM
AQ2=AP2+PQ2=(1+t)2+(
2+2t |
3 |
13 |
9 |
| ||
3 |
AM=4-2t
| ||
3 |
t=
85-18
| ||
23 |
85-18
| ||
23 |
∴当t=
85-18
| ||
23 |
③若MQ=MA
MQ2=MP2+PQ2
=(3-3t)2+(
2+2t |
3 |
85 |
9 |
154 |
9 |
85 |
9 |
∴
85 |
9 |
154 |
9 |
85 |
9 |
=(4-2t)2
49 |
9 |
10 |
9 |
59 |
9 |
解得t=
59 |
49 |
∵0<
59 |
49 |
∴当t=
59 |
49 |
综上所述:当t=
1 |
2 |
85-18
| ||
23 |
59 |
49 |
点评:本题是点的运动性问题,考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定等知识点,综合性较强,考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法.

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