Question

四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC．在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点以每秒2个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连接AC交NP于Q，连接MQ．
（1）写出C点的坐标；
（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标；（用含t的式子表示）
（3）其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（4）当t取何值时，△AMQ的面积最大；
（5）当t为何值时，△AMQ为等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）由于等腰梯形是轴对称图形，根据O、A坐标可求出等腰梯形对称轴的解析式，进而可根据B点坐标和对称轴的解析式求出C点坐标．
（2）求Q点坐标，即求QP和OP的长，Q点横坐标即为B点横坐标减去NB的长，据此可求出Q点横坐标，Q点纵坐标可通过构建相似三角形来求解，过C作CE⊥OA于E，可根据QP∥CE得出的关于AP、AE、PQ、CE的比例关系式求出Q点纵坐．由此可得出Q点坐标．
（3）在②中已经求得了QP的长，AM的长易得出，据此可用三角形面积公式求出S，t的函数关系式．
（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．
（5）本题要分三种情况讨论：
①QM=QA，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出MP=PA=

1

2

AM，可根据MP和AP的不同表达式求出t的值．
②AM=QA，可直接用表示AM的式子表示AQ，然后在直角三角形PAQ中，用勾股定理求出t的值；③QM=MA，同②．

解答：解：（1）C（1，2）．

（2）过C作CE⊥x轴于E，则CE=2
当动点N运动t秒时，NB=t
∴点Q的横坐标为3-t
设Q点的纵坐标为y_Q
由PQ∥CE得

yQ

2

=

1+t

3

∴y_Q=

2+2t

3

∴点Q（3-t，

2+2t

3

）；

（3）点M以每秒2个单位运动，
∴OM=2t，AM=4-2t，
S_△AMQ=

1

2

AM•PQ=

1

2

•（4-2t）•

2+2t

3

=

2

3

（2-t）（t+1）
=-

2

3

（t²-t-2）
当t=2时，M运动到A点，△AMQ不存在，
∴t≠2，
∴t的取值范围是0≤t＜2；

（4）由S_△AMQ=-

2

3

（t²-t-2）=-

2

3

（t-

1

2

）²+

3

2

．
当t=

1

2

时，S_max=

3

2

；

（5）①若QM=QA
∵QP⊥OA，
∴MP=AP，
而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，
t=

1

2

，
∴当t=

1

2

时，△QMA为等腰三角形；
②若AQ=AM
AQ²=AP²+PQ²=（1+t）²+（

2+2t

3

）²=

13

9

（1+t）²AQ=

13

3

，
AM=4-2t

13

3

（1+t）=4-2t，
t=

85-18 13

23

而0＜

85-18 13

23

＜2，
∴当t=

85-18 13

23

时，△QMA为等腰三角形；
③若MQ=MA
MQ²=MP²+PQ²
=（3-3t）²+（

2+2t

3

）²=

85

9

t²-

154

9

t+

85

9

∴

85

9

t²-

154

9

t+

85

9

=（4-2t）²

49

9

t²-

10

9

t-

59

9

=0
解得t=

59

49

或t=-1（舍去）
∵0＜

59

49

＜2，
∴当t=

59

49

时，△QMA为等腰三角形；
综上所述：当t=

1

2

，t=

85-18 13

23

或t=

59

49

△QMA都为等腰三角形．

点评：本题是点的运动性问题，考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．