Question

如图，△ABC中，∠A=90°以直角边AB为边，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是斜边BC的高，延长FA使AG=BC．
求证：BG=CD．

Answer 1

分析：如图，利用正方形的性质、直角三角形的性质以及对顶角，通过全等三角形的判定定理SAS证得△DBC≌△BAG，则该全等三角形的对应边相等，即BG=CD．

解答：证明：如图，∵在直角△BAC中，∠BAC=90°，AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴∠2=∠3（同角的余角）相等；
又∵四边形ABDE是正方形，∠1=∠2，
则∠BDA=∠EAB=90°，DB=AB，∠1=∠3，
∴∠DBC=∠DBA+∠3=∠BAE+∠1=∠BAG，即∠DBA=∠BAG，
∴在△DBC与△BAG中，

DB=BA ∠DBC=∠BAG BC=AG

，
∴△DBC≌△BAG（SAS），
∴BG=CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．