Question

（2009•昌平区一模）请阅读下列材料：
问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．
小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P即为所求．

请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA′与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，直接写出的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理和相似三角形的性质，求得AP，BP的值即可；
（2）由勾股定理和相似三角形的性质，建立方程求解；
（3）结合图形，由（1）（2）直接写出即可．
解答：解：（1）在Rt△ACP中，由勾股定理得，AP=，
∵△ACP≌△A′CP，△A′CP∽△BDP，
∴CP：PD=A′P：BP，解得BP=2，
∴AP+BP的值为；

（2）∵△A′CP∽△BDP
∴BD：A′C=PD：CP=2：1
∴BD=4-AC=2AC
∴AC=，BD=
由勾股定理知，AP=，BP=
∴AP+BP的值为5；

（3）∵2m-3+8-2m=5，
∴=．
故有最小值为．
点评：本题利用了勾股定理，相似三角形的性质，类比的方法求解．