Question

（2013•太原二模）如图（1），点F是正方形ABCD的边AB上一点，以AF为边在正方形的外部作△AEF，使∠AFE=90°，AF=FE，点O是线段CE的中点，连接OB，OF，请探究线段OB，OF的数量关系和位置关系．
小颖的思路：延长FO交BC于点G，通过构造全等三角形解决．
（1）请按小颖的思路解决图（1）中的问题：
①证明：△EOF≌COG；
②直接写出OB，OF的位置关系为

OB⊥OF

，数量关系为

OB=OF

．
（2）将图（1）中的△AEF绕点A旋转，使AE落在对角线CA的延长线上，其余条件都不变，请写出此时OB，OF的数量关系和位置关系，并证明；
（3）将图（2）中的正方形变为菱形，其中∠ABC=60°，将等腰△AEF的顶角变为120°，其余条件都不变，此时线段OB，OF的位置关系为

OB⊥OF

，

OB

OF

=

3

．

Answer 1

分析：（1）延长FO交BC于G，由条件可以得出EF∥BC，就可以得出∠FEO=∠GCO，可以得出△FEO≌△GCO，就有EF=GC，FO=GO，从而得出BF=BG，就有BO=OF，BO⊥OF而得出结论；
（2）延长FO交BC于G，由条件可以得出EF∥DC，就可以得出∠FEO=∠GCO，可以得出△FEO≌△GCO，就有EF=GC，FO=GO，再由正方形的性质就可以得出△BAF≌△BDG，从而得出BF=BG，∠ABF=∠CBG，得出△GFB是等腰直角三角形，就有BO=OF，BO⊥OF而得出结论；
（3）过点C作CG∥EF交FO的延长线于点G，就可以得出△FEO≌△GCO，就有EF=GC，FO=GO，再由菱形的性质就可以得出△BAF≌△BDG，从而得出BF=BG，∠ABF=∠CBG，得出△GFB是等边三角形，就有BO⊥OF，

OB

OF

的值．

解答：解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°∠BAC=∠BCA=45°．
∵∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABC，
∴EF∥BC，
∴∠FEO=∠GCO．∠EFO=∠CGO．
∵O是线段CE的中点，
∴EO=CO．
在△FEO和△GCO中，

∠FEO=∠GCO ∠EFO=∠CGO EO=CO

，
∴△FEO≌△GCO（AAS）．
②∵△FEO≌△GCO，
∴EF=CG．FO=GO=

1

2

FG．
∵AF=FE，
∴AF=CG．
∴AB-AF=CB-CG，
∴BF=BG，
∵∠ABC=90°，
∴BO⊥FO，BO=

1

2

FG，
∴BO=FO．
故答案为：BO⊥FO，BO=FO；
（2）BO⊥FO，BO=FO．
理由：延长FO交BC于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠BAF=90°∠BAC=∠BCA=45°．AB∥CD，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABC，
∴EF∥BA，
∴EF∥CD．
∴∠FEO=∠GCO．∠EFO=∠CGO．
∵O是线段CE的中点，
∴EO=CO．
在△FEO和△GCO中，

∠FEO=∠GCO ∠EFO=∠CGO EO=CO

，
∴△FEO≌△GCO（AAS）．
∴EF=CG．FO=GO=

1

2

FG．
∵AF=FE，
∴AF=CG．
在△BAF和△BDG中

AF=CG ∠BAF=∠BCG AB=CB

∴△BAF≌△BDG（SAS），
∴BF=BG，∠ABF=∠CBG．
∵∠ABG+∠CBG=90°，
∴∠ABF+∠ABG=90°，
即∠FBG=90°，
∴BO⊥FO，BO=

1

2

FG，
∴BO=FO．
（3）过点C作CG∥EF交FO的延长线于点G，
∴∠FEO=∠GCO．∠EFO=∠CGO．
∵O是线段CE的中点，
∴EO=CO．
在△FEO和△GCO中，

∠FEO=∠GCO ∠EFO=∠CGO EO=CO

，
∴△FEO≌△GCO（AAS）．
∴EF=CG．FO=GO．
∵AF=FE，
∴AF=CG．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵AF=EF，∠AFE=120°，
∴∠E=∠EAF=30°，
∴∠BAF=90°，∠GCO=∠FEO=30°，
∴∠ACG=90°，
∴∠BAF=∠BCG．
在∴△BAF和△BDG中

AF=CG ∠BAF=∠BCG AB=CB

，
∴△BAF≌△BDG（SAS）
∴BF=BG，∠ABF=∠CBG．
∵∠ABG+∠CBG=60°，
∴∠ABF+∠ABG=60°，
即∠FBG=60°，
∴△FBG为等边三角形，
∴BF=BG=FG．
∵FO=GO，
∴BO⊥FO，FB=2FO．
设FO=x，则FB=2x，在Rt△BOF中，由勾股定理，得
BO=

3

x
∴

BO

FO

=

3 x

x

=

3

．
故答案为：BO⊥FO，

3

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键．