Question

如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使长方体盒子的底面积为48cm²，那么剪去的正方形的边长为多少；
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）可设正方形的边长为x，可根据矩形的面积公式，用x表示出长方体盒子底面的长和宽，得出方程求出x的值．
（2）同（1）先用x表示出不同侧面的长，然后根据矩形的面积将4个侧面的面积相加，得出关于侧面积和正方形边长的函数式，然后根据函数的性质和自变量的取值范围来得出侧面积的最大值．
（3）方法同（2）只不过要分两种情况进行讨论，一种是在矩形的长边剪去2个小长方形（如图1），一种是在矩形的宽上剪去两个小长方形（如图2）．

解答：解：（1）设正方形的边长为xcm，则（10-2x）（8-2x）=48．
即x²-9x+8=0．
解得x₁=8（不合题意，舍去），x₂=1．
∴剪去的正方形的边长为1cm．

（2）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm²，
则y与x的函数关系式为：
y=2（10-2x）x+2（8-2x）x．
即y=-8x²+36x．（0＜x＜4）
改写为y=-8（x-

9

4

）²+

81

2

．
∴当x=2.25时，y最大=40.5．
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm²．

（3）有侧面积最大的情况．
设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm²．
若按图1所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为：
y=2（8-2x）x+2•

10-2x

2

•x．
即y=-6（x-

13

6

）²+

169

6

．
∴当x=

13

6

时，y最大=

169

6

．
若按图2所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为：
y=2（10-2x）x+2•

8-2x

2

•x．
即y=-6（x-

7

3

）²+

98

3

．
∴当x=

7

3

时，y最大=

98

3

．
比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为

7

3

cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为

98

3

cm²．

点评：本题主要考查了矩形的面积的求法，二次函数的应用等知识点，根据面积的计算方法正确的表示出二次函数是解题的关键．