题目内容
如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗？请说明理由；
（3）如果把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，那么它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）可以达到30cm2吗？请说明理由．
分析：（1）可设剪去的正方形边长为xcm，根据无盖长方体盒子的底面积为48cm2，可得方程（10-2x）（8-2x）=48求解即可；
（2）可设剪去的正方形边长为xcm，根据无盖长方体盒子的侧面积等于52 cm2，可得方程2[x（10-2x）+x（8-2x）]=52，再根据根的判别式作出判断；
（3）可设剪去的正方形边长为xcm，可以分为
两种情况，根据侧面积为30cm2列方程讨论求解．
（2）可设剪去的正方形边长为xcm，根据无盖长方体盒子的侧面积等于52 cm2，可得方程2[x（10-2x）+x（8-2x）]=52，再根据根的判别式作出判断；
（3）可设剪去的正方形边长为xcm，可以分为
两种情况，根据侧面积为30cm2列方程讨论求解．解答：解：（1）设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得
（10-2x）（8-2x）=48，即x2-9x+8=0
解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1．
∴剪去的正方形的边长为1cm． …（2分）
（2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52 cm2，理由如下：
设剪去的正方形边长为xcm，
由题意，得 2[x（10-2x）+x（8-2x）]=52…（2分）
整理得2x2-9x+13=0
∵△=b2-4ac=81-4×2×13＜0，
∴原方程没有实数解．
即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52 cm2．…（2分）
（3）设剪去的正方形边长为xcm，
若按图1所示的方法剪折，
解方程2(8-2x)x+2×
•x=30，得该方程没有实数解．…（3分）
若按图2所示的方法剪折，
解方程2(10-2x)x+2×
•x=30，
得x1=
，x2=3．
∴当按图2所示的方法剪去的正方形边长为
cm或3cm时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到30 cm2．…（3分）
（10-2x）（8-2x）=48，即x2-9x+8=0
解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1．
∴剪去的正方形的边长为1cm． …（2分）
（2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52 cm2，理由如下：
设剪去的正方形边长为xcm，
由题意，得 2[x（10-2x）+x（8-2x）]=52…（2分）
整理得2x2-9x+13=0
∵△=b2-4ac=81-4×2×13＜0，
∴原方程没有实数解．
即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于52 cm2．…（2分）
（3）设剪去的正方形边长为xcm，若按图1所示的方法剪折，
解方程2(8-2x)x+2×
| 10-2x |
| 2 |
若按图2所示的方法剪折，
解方程2(10-2x)x+2×
| 8-2x |
| 2 |
得x1=
| 5 |
| 3 |
∴当按图2所示的方法剪去的正方形边长为
| 5 |
| 3 |
点评：考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解决本题的关键；易错点是得到各边长的代数式．
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