题目内容

【题目】如图四边形ABCD是菱形,且∠ABC=60,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM,则下列五个结论中正确的是(  )

若菱形ABCD的边长为1,则AM+CM的最小值1;

②△AMB≌△ENB;

③S四边形AMBE=S四边形ADCM

连接AN,则AN⊥BE;

AM+BM+CM的最小值为2时,菱形ABCD的边长为2

A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ②③⑤

【答案】C

【解析】连接ACBD于点O四边形ABCD是菱形AB=BCBDACAO=BO

AC关于直线BD对称M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值

∵∠ABC=60∴△ABC是等边三角形AB=ACAB=1AC=1AM+CM的值最小为1正确

②∵△ABE是等边三角形BA=BEABE=60°

∵∠MBN=60°∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN

MBA=∠NBE

MB=NB∴△AMB≌△ENBSAS),正确

③∵SABE+SABM=S四边形AMBE

SACD+SAMC=S四边形ADCMSAMBSAMCSABE+SABMSACD+SAMCS四边形AMBES四边形ADCM错误

假设ANBEAE=ABANBE的垂直平分线EN=BN=BM=MNM点与O点重合条件没有确定M点与O点重合错误

如图连接MN由(1)知AMB≌△ENBAM=EN∵∠MBN=60°MB=NB∴△BMN是等边三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM

根据两点之间线段最短EN+MN+CM=EC最短

M点位于BDCE的交点处时AM+BM+CM的值最小即等于EC的长

E点作EFBCCB的延长线于F∴∠EBF=180°120°=60°设菱形的边长为xBF=xEF=xRtEFCEF2+FC2=EC2 解得x=2正确

综上所述正确的答案是①②⑤故选C

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