题目内容
【题目】如图四边形ABCD是菱形,且∠ABC=60,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM,则下列五个结论中正确的是( )
①若菱形ABCD的边长为1,则AM+CM的最小值1;
②△AMB≌△ENB;
③S四边形AMBE=S四边形ADCM;
④连接AN,则AN⊥BE;
⑤当AM+BM+CM的最小值为2时,菱形ABCD的边长为2.
A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ②③⑤
【答案】C
【解析】解:①连接AC,交BD于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,BD⊥AC,AO=BO
∴点A,点C关于直线BD对称,∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值
∵∠ABC=60,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵AB=1,∴AC=1,即AM+CM的值最小为1,故①正确.
②∵△ABE是等边三角形,∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN.
即∠MBA=∠NBE.
又∵MB=NB,∴△AMB≌△ENB(SAS),故②正确.
③∵S△ABE+S△ABM=S四边形AMBE
S△ACD+S△AMC=S四边形ADCM,且S△AMB≠S△AMC,∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC,∴S四边形AMBE≠S四边形ADCM,故③错误.
④假设AN⊥BE,且AE=AB,∴AN是BE的垂直平分线,∴EN=BN=BM=MN,∴M点与O点重合,∵条件没有确定M点与O点重合,故④错误.
⑤如图,连接MN,由(1)知,△AMB≌△ENB,∴AM=EN,∵∠MBN=60°,MB=NB,∴△BMN是等边三角形,∴BM=MN,∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,∴∠EBF=180°﹣120°=60°,设菱形的边长为x,∴BF=x,EF=x,在Rt△EFC中,∵EF2+FC2=EC2,∴ ,解得x=2,故⑤正确.
综上所述,正确的答案是:①②⑤,故选C.
【题目】某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验,试验中汽车为匀速行驶,在行驶过程中,油箱的余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如表:
t(小时) | 0 | 1 | 2 | 3 |
y(升) | 120 | 112 | 104 | 96 |
由表格中y与t的关系可知,当汽车行驶_____小时,油箱的余油量为0.