题目内容

如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点精英家教网A在x轴上，点C在y轴上，OC=
3
，∠CAO=30度．将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求折痕CE所在直线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）因为∠CAO=30°，由折叠可知∠OCE=∠ECD=
1
2
∠OCA=30°，
在Rt△COE中，利用三角函数可求OE=OC•tan∠OCE=
3
×
3
3
=1，从而可求点E的坐标是（1，0）．
因为OC=
3
，所以C（0，
3
）．
可设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E的坐标代入，可得到关于k、b的方程组，解之即可；
（2）在Rt△AOC中，利用三角函数可求出AC、AO的值，因为CD=OC=
3
，可求出AD=AC-CD=2
3
-
3
=
3
．
要求D的坐标，需过点D作DF⊥OA于点F．
在Rt△AFD中，利用三角函数可求DF=AD•sin∠CAO=
3
2
，AF=AD•cos∠CAO=
3
2
，所以OF=AO-AF=
3
2
，从而点D的坐标是（
3
2
，
3
2
）；
（3）需分情况讨论：
第一种情况：若此点在第四象限内，可设其为M1，延长DF交直线CE于M1，连接M1O，则有DM1∥y轴．
因为OF=
3
2
，所以可设点M1的坐标为（
3
2
，y1），利用点M1在直线CE上，可得y1的值，即可求出点M1的坐标是（
3
2
，-
3
2
），所以有DM1=DF+FM1=
3
2
+
3
2
=
3
，OC=
3
，所以DM1=OC．
利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知四边形CDM1O为平行四边形．而点O在y轴上，所以点M1是符合条件的点．
第二种情况：此点在第二象限内，设为M2．可过点D作DN∥CE交y轴于N，过N点作NM2∥CD交直线CE于点M2，则四边形M2NDC为平行四边形．
利用平行四边形的对边分别相等，可知M2N=CD=
3
，
又因M2N∥CD，DN∥CE，所以∠NM2C=∠ACE，∠OCE=∠M2CN，CN=M2N．
又因M2N=CD=
3
，所以CN=
3
．
接着可作M2H⊥y轴于点H，利用两直线平行，内错角相等可得∠M2NC=∠NCD，∴∠M2NH=∠OCA=60°．
在Rt△M2NH中，利用三角函数可求出M2H，NH的值，利用HO=HN+CN+OC=
5
3
2
可得M2（-
3
2
，
5
3
2
）．
解答：解：（1）由题意知∠CAO=30°，
∴∠OCE=∠ECD=
1
2
∠OCA=30°，
∴在Rt△COE中，OE=OC•tan∠OCE=
3
×
3
3
=1，
∴点E的坐标是（1，0），
设直线CE的解析式为y=kx+b．
把点C（0，
3
），E（1，0）代入得
b=
3
k+b=0
，
∴
b=
3
k=-
3
，
∴直线CE的解析式为y=-
3
x+
3
．

（2）在Rt△AOC中，AC=
OC
sin∠CAO
=2
3
，
AO=
OC
tan∠CAO
=3，
∵CD=OC=
3
，
∴AD=AC-CD=2
3
-
3
=
3
，
过点D作DF⊥OA于点F，
在Rt△AFD中，DF=AD•sin∠CAO=
3
2
，
AF=AD•cos∠CAO=
3
2
，
∴OF=AO-AF=
3
2
．
∴点D的坐标是（
3
2
，
3
2
）．

（3）存在两个符合条件的M点，
精英家教网第一种情况：此点在第四象限内，设为M1，延长DF交直线CE于M1，
连接M1O，M1O∥AC，
则有DM1∥y轴，
∵OF=
3
2
，
∴设点M1的坐标为（
3
2
，y1），
又∵点M1在直线CE上，
∴将点M1的坐标代入y=-
3
x+
3
中，
得y1=-
3
×
3
2
+
3
=-
3
2
，即FM1=
3
2
．
∴点M1的坐标是（
3
2
，-
3
2
），
又∵DM1=DF+FM1=
3
2
+
3
2
=
3
，OC=
3
，
∴DM1=OC，
又∵DM1∥OC，
∴四边形CDM1O为平行四边形，
又∵点O在y轴上，
∴点M1是符合条件的点．
第二种情况：此点在第二象限内，设为M2，
过点D作DN∥CE交y轴于N，过N点作NM2∥CD交直线CE于点M2，
则四边形M2NDC为平行四边形，
∴M2N=CD=
3
，
∵M2N∥CD，DN∥CE，
∴∠NM2C=∠ACE，∠OCE=∠M2CN，
∴CN=M2N，
∵M2N=CD=
3
，
∴CN=
3
，
作M2H⊥y轴于点H，
∵M2N∥CD，
∴∠M2NC=∠NCD，
∴∠M2NH=∠OCA=60°，
在Rt△M2NH中，
M2H=M2N•sin60°=
3
×
3
2
=
3
2
，
NH=M2N•cos60°=
3
×
1
2
=
3
2
，
∴HO=HN+CN+OC=
5
3
2
，
∴M2（-
3
2
，
5
3
2
），
∴点M2是符合条件的点，
综上所述，符合条件的两个点的坐标分别为M1（
3
2
，-
3
2
），M2（-
3
2
，
5
3
2
）．
点评：本题的解决需要综合运用待定系数法、三角函数等知识，另外解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．
练习册系列答案
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如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA和OC是方程x2-(3+
3
)x+3
3
=0的两根（OA＞OC），∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求线段OA和OC的长；
（2）求点D的坐标；
（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存精英家教网在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
精英家教网如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=
3
，∠CAO=30°．将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求折痕CE所在直线的解析式；
（2）求点D的坐标．
（2010•舟山模拟）如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=，∠CAO=30°．将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求折痕CE所在直线的解析式；
（2）求点D的坐标．
（2005•沈阳）如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=，∠CAO=30度．将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求折痕CE所在直线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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