题目内容
已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．
（1）当α=30°时（如图②），求证：AG=DH；
（2）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请根据图③说明理由．
（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，DM与DN的比值是否发生改变？如果不改变，请直接写出比值；如果改变，请说明理由．
（1）当α=30°时（如图②），求证：AG=DH；
（2）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请根据图③说明理由．
（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，DM与DN的比值是否发生改变？如果不改变，请直接写出比值；如果改变，请说明理由．
分析：（1）由题意可证得：∠A=∠ADM=30°，∠BDC=∠B=60°，然后根据等角对等边的性质，可得MA=MD，CB=CD，又由三线合一，即可证得答案；
（2）首先证得△AGM∽△NHB与Rt△MGD∽Rt△DHN，根据相似三角形的对应边成比例，易得
=
①与
=
②，然后利用比例的性质，即可证得AG=DH；
（3）由Rt△MGD∽Rt△DHN与AG=DH，易得
=
=tan∠A，继而求得答案．
（2）首先证得△AGM∽△NHB与Rt△MGD∽Rt△DHN，根据相似三角形的对应边成比例，易得
| AG |
| NH |
| MG |
| BH |
| DH |
| MG |
| NH |
| DG |
（3）由Rt△MGD∽Rt△DHN与AG=DH，易得
| DM |
| DN |
| MG |
| AG |
解答：（1）证明：由题意可得：∠A=∠ADM=30°，
∴MA=MD，
又∵MG⊥AD于点G，
∴AG=DG，
∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
∴CB=CD，
∴C与N重叠，
又∵NH⊥DB于点H，
∴DH=BH，
∵AD=DB，
∴AG=DH；
（2）解：当0°＜α＜90°时，（1）中的结论成立．
如图③，在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B，
又∵∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB
，
∴
=
，…①
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH，
又∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴
=
，…②
①×②，得
=
，
由比例的性质，得
=
，
即
=
，
∵AD=DB，
∴AG=DH；
（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，
值没有改变，
∵Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴
=
，
∵AG=DH，
∴
=
=tan∠A=tan30°=
，
∴
=
．
∴MA=MD，
又∵MG⊥AD于点G，
∴AG=DG，
∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
∴CB=CD，
∴C与N重叠，
又∵NH⊥DB于点H，
∴DH=BH，
∵AD=DB，
∴AG=DH；
（2）解：当0°＜α＜90°时，（1）中的结论成立．
如图③，在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B，
又∵∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB
，∴
| AG |
| NH |
| MG |
| BH |
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH，
又∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴
| DH |
| MG |
| NH |
| DG |
①×②，得
| DG |
| AG |
| BH |
| DH |
由比例的性质，得
| DG+AG |
| AG |
| BH+DH |
| DH |
即
| AD |
| AG |
| BD |
| DH |
∵AD=DB，
∴AG=DH；
（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，
| DM |
| DN |
∵Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴
| DM |
| DN |
| MG |
| DH |
∵AG=DH，
∴
| DM |
| DN |
| MG |
| AG |
| ||
| 3 |
∴
| DM |
| DN |
| ||
| 3 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、三角函数的性质、等腰三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用．
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