题目内容

(1997•内江)已知一个二次函数的图象为抛物线C,点P(1,-4)、Q(5,-4)、R(3,0)在抛物线C上.
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)我们知道,与y=kx+b(即kx-y+b=0)可以表示直线一样,方程x+my+n=0也可以表示一条直线,且对于直线x+my+n=0和抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),方程组的解(x,y)作为点的坐标,所确定的点就是直线和抛物线的公共点,如果直线L:x+my+n=0过点M(1,0),且直线L与抛物线C有且只有一个公共点,求相应的m,n的值.
【答案】分析:(1)先设函数解析式为:y=ax2+bx+c,把三点的坐标值代入函数解析式,利用待定系数法可求出函数解析式.
(2)把(1,0)代入一次函数解析式,可先求出n的值,那么解有一次函数与二次函数组成的方程组,得到关于y的二次方程,因为只有一个交点,所以△=0,即可求出m的值.
解答:解:(1)y=-x2+6x-9.
(2)直线l为:x+my-1=0,
∵直线L与抛物线C有且只有一个公共点
,有且只有一解.
∴由x+my-1=0得x=1-my,(3)
把(3)代入二次函数中得:y=-(1-my)2+6(1-my)-9,
整理得:m2y2+(4m+1)y+4=0,
于是由△=(4m+1)2-4•m2•4=0,
∴m=-
故:当m=-,n=-1时,直线l为:x+y-1=0与抛物线C:y=-x2+6x-9有且只有一个公共点.
点评:本题利用了待定系数法求函数解析式,以及解方程组,还有一元二次方程根的判别式等知识.
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