Question

已知点A在直角坐标系中如图：
（1）写出A点的坐标，作A点关于x轴的对称点A'，连接OA，并求sin∠OAA'的值．
（2）若直线y=mx+3n和双曲线y=都经过A点关于x轴的对称点A'，试求m、n的值，并求直线与双曲线的另一个交点的坐标．

Answer 1

解：（1）A（1，-2）
作AB⊥OX交x轴于点B，并延长到A′是BA′=BA，则A′是A关于x轴的对称点，连接OA如图，在Rt△ABO中，OB=1，AB=2，
则OA==，sin∠OAA'===；

（2）点A关于x轴的对称点A′（1，2），
由题意得，
①×2-②得：2n=2，n=1，
把n=1代入①得：m=-1，
直线为：y=-x-3 ③，
双曲线为y=④
由③④得：-x+3=，x²-3x+2=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
当x=2时，y=1，∴直线与双曲线的另一个交点为（2，1）．
分析：（1）根据点关于x轴的对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出A′点的坐标，再由三角函数求出sin∠OAA'的值．
（2）由直线和双曲线的交点，列方程组求出m、n的值，从而求出另一个交点．
点评：本题综合考查了一次函数与反比例函数的应用，题中运用点的对称和方程组的方法解决三角函数问题．