题目内容

【题目】如图,平行四边形ABCD中,过A作AM⊥BC于M,交BD于E,过C作CN⊥AD于N,交BD于F,连结AF、CE.

(1)求证:△ABE≌△CDF;

(2)当四边形ABCD满足什么条件时,四边形AECF是菱形?证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析;(2)四边形ABCD是菱形时,四边形AECF是菱形,证明见解析.

【解析】(1)根据ABCD为平行四边形,得到AD与BC平行且相等,由AM垂直于BC,CN垂直于AD,得到AM与CN平行,再由平行四边形ABCD,得到BC与AD平行,BC=AD,进而确定出AMCN为平行四边形,利用平行四边形的对边相等得到AN=CM,进而得到DN=BM,利用ASA得证;(2)利用菱形的性质可得AC⊥EF,由全等三角形的性质

可得AE=CF,由平行四边形的判定定理可得四边形AECF为平行四边形,利用菱形的判定定理得出结论.

证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF,∠BAD=∠BCD,

∵MA⊥AN,NC⊥BC,∴∠BAM=∠DCN,

在△ABE和△CDF中,

∠ABE=∠CDF,AB=CD,∠BAM=∠DCN,

∴△ABE≌△CDF(SAS);

(2)四边形ABCD是菱形时,四边形AECF是菱形.

∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF,

∵MA⊥AN,NC⊥BC,∴AM∥CN,∴四边形AECF为平行四边形,

∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥EF,∴四边形AECF为菱形.

“点睛”此题考查了平行四边形和菱形判定与性质,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.

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