Question

问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．
问题解决
如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

解：由图可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．
∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．
∵a≠b，∴(a－b)²＞0．
∴M－N＞0．
∴M＞N．
类比应用
【小题1】已知：多项式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a．试比较M与N的大小．
【小题2】已知：如图，锐角△ABC (其中BC为a，AC为b，AB为c)三边
满足a ＜b ＜ c ，现将△ABC 补成长方形，使得△ABC的两个顶
点为长方形的两个端点，第三个顶点落在长方形的这一边的对边上。                     
①这样的长方形可以画       个；
②所画的长方形中哪个周长最小？为什么？

拓展延伸                                                                                               
已知：如图，锐角△ABC (其中BC为a，AC为b，AB为c)三边满足a ＜b ＜ c ，画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上，G、H分别在边AC、AB上，同样还可画AC、AB边上的内接正方形，问哪条边上的内接正方形面积最大？为什么？

Answer 1

【小题1】M>N
【小题2】①3个 ②以最短边a为边画的长方形周长最小
拓展延伸：边上的内接正方形面积最大解析:

（1）M-N==
∴M>N                               3分
(2) ① 3                          4分
②以最短边a为边画的长方形周长最小.                        5分
理由：设ΔABC的面积为S，三个长方形的周长分别为、、．
易得三个长方形的面积相等，均为2S．
=，=，=
－=
∵（）
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴<
同理<
∴<<                        8分
拓展延伸：
边上的内接正方形面积最大                        9分
理由: 设边上的内接正方形边长为x，
由ΔAHG∽ΔABC,得
解得x=
由上题得，最小，且(定值)，
∴x为最大
∴边上的内接正方形面积最大                        12分