Question

问题提出

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．

问题解决

如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

解：由图可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．

∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．

∵a≠b，∴(a－b)²＞0．

∴M－N＞0．

∴M＞N．

类比应用

1.已知：多项式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a ．试比较M与N的大小．

2.已知：如图，锐角△ABC (其中BC为a，AC为b，AB为c)三边

满足a ＜b ＜ c ，现将△ABC 补成长方形，使得△ABC的两个顶

点为长方形的两个端点，第三个顶点落在长方形的这一边的对边上。                     

     ①这样的长方形可以画       个；

②所画的长方形中哪个周长最小？为什么？

拓展延伸                                                                                                                               

     已知：如图，锐角△ABC (其中BC为a，AC为b，AB为c)三边满足a ＜b ＜ c ，画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上，G、H分别在边AC、AB上，同样还可画AC、AB边上的内接正方形，问哪条边上的内接正方形面积最大？为什么？

 

 

Answer 1

 

1.M>N

2.①3个  ②以最短边a为边画的长方形周长最小

       拓展延伸：边上的内接正方形面积最大

解析:

（1）M-N==

∴M>N                                3分

(2) ① 3                          4分

②以最短边a为边画的长方形周长最小.                        5分

理由：设ΔABC的面积为S，三个长方形的周长分别为、、．

易得三个长方形的面积相等，均为2S．

=，=，=

－=

∵（）

∴

∴

∵，

∴，

∴

∴<

同理<

∴<<                        8分

拓展延伸：

边上的内接正方形面积最大                        9分

理由: 设边上的内接正方形边长为x，

由ΔAHG∽ΔABC,得

解得x=

由上题得，最小，且(定值)，

∴x为最大

∴边上的内接正方形面积最大                        12分