题目内容
已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C
在y轴的正半轴上；线段OB，OC的长（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2．（1）求此抛物线的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE．当△CEF的面积最大时，求点E的坐标，并求此时面积的最大值；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点Q，点D的坐标为（-3，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）已知了抛物线的对称轴可以用顶点式二次函数通式y=a（x-h）2+b来设抛物线的解析式．然后根据方程x2-10x+16=0，求出B、C两点的坐标，进而可根据B、C的坐标求出抛物线的解析式．
（2）本题可通过设E点的坐标，然后列出关于△CEF的面积和E点横坐标的二次函数式，然后根据函数的性质来确定面积的最大值以及对应的E点的坐标．
（3）本题的关键是求出Q点的纵坐标，可分三种情况进行讨论．
①当DO=DQ时，根据A、D、O的坐标可知AD=OD，那么此时AD=OD=DQ，三角形AQO为直角三角形且与△AOC相似．可根据相似比求出面积比，进而求出三角形AOQ的面积．过Q作AO边上的高QM，即可根据三角形AOQ的面积求出QM的长即Q点的纵坐标．然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
②当DQ=OQ时，可根据三角形AQM与三角形ACO相似求出QM的长即Q点的纵坐标，然后按①的方法即可得出P点的坐标．
③当OQ=OD时，OQ=OD=3，显然这种情况是不成立的（O到AC的距离为4.8）．
综合三种情况即可求出符合条件的P点的坐标．
（2）本题可通过设E点的坐标，然后列出关于△CEF的面积和E点横坐标的二次函数式，然后根据函数的性质来确定面积的最大值以及对应的E点的坐标．
（3）本题的关键是求出Q点的纵坐标，可分三种情况进行讨论．
①当DO=DQ时，根据A、D、O的坐标可知AD=OD，那么此时AD=OD=DQ，三角形AQO为直角三角形且与△AOC相似．可根据相似比求出面积比，进而求出三角形AOQ的面积．过Q作AO边上的高QM，即可根据三角形AOQ的面积求出QM的长即Q点的纵坐标．然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
②当DQ=OQ时，可根据三角形AQM与三角形ACO相似求出QM的长即Q点的纵坐标，然后按①的方法即可得出P点的坐标．
③当OQ=OD时，OQ=OD=3，显然这种情况是不成立的（O到AC的距离为4.8）．
综合三种情况即可求出符合条件的P点的坐标．
解答：解：（1）解方程x2-10x+16=0得x1=2，x2=8．
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）．
又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2，
∴可设抛物线的表达式为y=a（x+2）2+k．
∵点B（2，0），C（0，8）在抛物线上，
解得a=-
，k=
，
∴所求抛物线的表达式为y=-
(x+2)2+
=-
x2-
x+8．
（2）设点E的坐标为（m，0），过点F作FG⊥x轴（AB），垂足为点G．
由（1）可得，点A的坐标为（-6，0）．
∴AB=8，EB=2-m．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴
=
，
即
=
，
∴FG=2-m，
∴S=S△BCE-S△BFE=
(2-m)×8-
(2-m)×(2-m)=-
(m2+4m-12)=-
(m+2)2+8．
自变量m的取值范围是-6＜m＜2，
∴当m=-2时，S有最大值，S最大值=8．
∴点E的坐标为（-2，0）．
（3）存在．在△ODQ中，
（Ⅰ）若DO=DQ，
∵A（-6，0），D（-3，0），
∴AD=OD=DQ=3．
∴△AQO是直角三角形．
∴Rt△AOQ∽Rt△ACO，
∴
=(
)2，
由（1）可知AC=10，S△ACO=24，
又∵AO=6，
∴S△AOQ=
，
作QM⊥x轴（OA），垂足为点M．
则S△AOQ=
×6×QM=
，
∴QM=
，
即点Q的纵坐标为
，
由-
(x+2)2+
=
，
解得x1=-2-
，x2=-2+
，
此时，点P的坐标为：P1（-2-
，
）或P2（-2+
，
）．
（Ⅱ）若QO=QD，
则QM是等腰△OQD底边上的中线．
∴OM=
OD=
，
∴AM=
，
由于Rt△AMQ∽Rt△AOC，
∴
=
，
即
=
，解得QM=6即点Q的纵坐标为6．
由-
(x+2)2+8=6，
解得x3=-2-
，x4=-2+
，
此时点P的坐标为：P3（-2-
，6）或P4（-2+
，6）．
（Ⅲ）若OD=OQ，则OQ=3，
∵点O到AC的距离是
=4.8，而OQ=3＜4.8，此时不存在这样的直线l，使△ODQ是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODQ是等腰三角形．点P的坐标为：P1（-2-
，
）或P2（-2+
，
）或P3（-2-
，6）或P4（-2+
，6）．
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）．
又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2，
∴可设抛物线的表达式为y=a（x+2）2+k．
∵点B（2，0），C（0，8）在抛物线上，
解得a=-
| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 3 |
∴所求抛物线的表达式为y=-
| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
（2）设点E的坐标为（m，0），过点F作FG⊥x轴（AB），垂足为点G．
由（1）可得，点A的坐标为（-6，0）．
∴AB=8，EB=2-m．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴
| BE |
| BA |
| FG |
| CO |
即
| 2-m |
| 8 |
| FG |
| 8 |
∴FG=2-m，
∴S=S△BCE-S△BFE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
自变量m的取值范围是-6＜m＜2，
∴当m=-2时，S有最大值，S最大值=8．
∴点E的坐标为（-2，0）．
（3）存在．在△ODQ中，
（Ⅰ）若DO=DQ，
∵A（-6，0），D（-3，0），
∴AD=OD=DQ=3．
∴△AQO是直角三角形．
∴Rt△AOQ∽Rt△ACO，
∴
| S△AOQ |
| S△SCO |
| AO |
| AC |
由（1）可知AC=10，S△ACO=24，
又∵AO=6，
∴S△AOQ=
| 216 |
| 25 |
作QM⊥x轴（OA），垂足为点M．
则S△AOQ=
| 1 |
| 2 |
| 216 |
| 25 |
∴QM=
| 72 |
| 25 |
即点Q的纵坐标为
| 72 |
| 25 |
由-
| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 3 |
| 72 |
| 25 |
解得x1=-2-
8
| ||
| 5 |
8
| ||
| 5 |
此时，点P的坐标为：P1（-2-
8
| ||
| 5 |
| 72 |
| 25 |
8
| ||
| 5 |
| 72 |
| 25 |
（Ⅱ）若QO=QD，
则QM是等腰△OQD底边上的中线．
∴OM=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴AM=
| 9 |
| 2 |
由于Rt△AMQ∽Rt△AOC，
∴
| AM |
| AO |
| QM |
| CO |
即
| ||
| 6 |
| QM |
| 8 |
由-
| 2 |
| 3 |
解得x3=-2-
| 3 |
| 3 |
此时点P的坐标为：P3（-2-
| 3 |
| 3 |
（Ⅲ）若OD=OQ，则OQ=3，
∵点O到AC的距离是
| 6×8 |
| 10 |
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODQ是等腰三角形．点P的坐标为：P1（-2-
8
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| 5 |
| 72 |
| 25 |
8
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| 5 |
| 72 |
| 25 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
练习册系列答案
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，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边．
，抛物线与x轴交于点P、Q，问是否
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