Question

已知关于x的二次函数y＝x²－(2m－1)x＋m²＋3m＋4．

(1)探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数．

(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x₁，0)，B(x₂，0)，且＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令y＝0，得：x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4＝0 　　Δ＝(2m－1)2－4(m2＋3m＋4)＝－16m－15　　1分 　　当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，即－16m－15＞0 　　∴m＜－ 　　此时，y的图象与x轴有两个交点　　2分 　　当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即－16m－15＝0 　　∴m＝－ 　　此时，y的图象与x轴只有一个交点　　3分 　　当Δ＜0时，方程没有实数根，即－16m－15＜0 　　∴m＞－ 　　此时，y的图象与x轴没有交点 　　∴当m＜－时，y的图象与x轴有两个交点； 　　当m＝－时，y的图象与x轴只有一个交点； 　　当m＞－时，y的图象与x轴没有交点　　4分 　　(评分时，考生未作结论不扣分) 　　(2)由根与系数的关系得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋3m＋4　　5分 　　＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋3m＋4)＝2m2－10m－7　　6分 　　∵＝5，∴2m2－10m－7＝5，∴m2－5m－6＝0 　　解得：m1＝6，m2＝－1 　　∵m＜－，∴m＝－1 　　∴y＝x2＋3x＋2　　7分 　　令x＝0，得y＝2，∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为(0，2) 　　又y＝x2＋3x＋2＝(x＋)2－，∴顶点M的坐标为(－，－) 　　设过C(0，2)与M(－，－)的直线解析式为y＝kx＋b 　　则 　　∴所求的解析式为y＝x＋2　　8分