Question

如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x²﹣14x+48=0的两个实数根．

（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

（1）C（0，6）。
（2）y=x+6。
（3）P₁（4，3），P₂（）P₃（），P₄（）。

试题分析：（1）通过解方程x²﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）。
解方程x²﹣14x+48=0得x₁=6，x₂=8。
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x²﹣14x+48=0的两个实数根，
∴OC=6，OA=8．∴C（0，6）。
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0），把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值。
设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0），
由（1）知，OA=8，则A（8，0）。
∵点A、C都在直线MN上，
∴，解得。
∴直线MN的解析式为y=x+6。
（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、勾股定理以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答：

∵A（8，0），C（0，6），∴根据题意知B（8，6）。
∵点P在直线MN：y=x+6上，∴设P（a， a+6）。
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P₁（4，3）。
②当PC=BC时，a²+（a+6﹣6）²=64，解得，a=，则P₂（），P₃（）。
③当PB=BC时，（a﹣8）²+（a+6﹣6）²=64，解得，a=，则P₄（）。
综上所述，符合条件的点P有：P₁（4，3），P₂（）P₃（），P₄（）。