题目内容

【题目】如图,四边形OBCD中的三个顶点在O上,点A是优弧BD上的一个动点(不与点B、D重合).

(1)当圆心O在BAD内部,ABO+ADO=60°时,BOD=

(2)当圆心O在BAD内部,四边形OBCD为平行四边形时,求A的度数;

(3)当圆心O在BAD外部,四边形OBCD为平行四边形时,请直接写出ABO与ADO的数量关系.

【答案】(1)120 °;(2)60°;(3)60°

【解析】

试题分析:(1)连接OA,如图1,根据等腰三角形的性质得OAB=ABO,OAD=ADO,则OAB+OAD=ABO+ADO=60°,然后根据圆周角定理易得BOD=2BAD=120°;(2)根据平行四边形的性质得BOD=BCD,再根据圆周角定理得BOD=2A,则BCD=2A,然后根据圆内接四边形的性质由BCD+A=180°,易计算出A的度数;(3)讨论:当OAB比ODA小时,如图2,与(1)一样OAB=ABO,OAD=ADO,则OAD﹣∠OAB=ADO﹣∠ABO=BAD,由(2)得BAD=60°

所以ADO﹣∠ABO=60°;当OAB比ODA大时,用样方法得到ABO﹣∠ADO=60°

试题解析:(1)连接OA,如图1,

OA=OB,OA=OD, ∵∠OAB=ABO,OAD=ADO, ∴∠OAB+OAD=ABO+ADO=60°,即BAD=60°

∴∠BOD=2BAD=120°

(2)四边形OBCD为平行四边形, ∴∠BOD=BCD, ∵∠BOD=2A, ∴∠BCD=2A,

∵∠BCD+A=180°,即3A=180° ∴∠A=60°

(3)当OAB比ODA小时,如图2,

OA=OB,OA=OD, ∵∠OAB=ABO,OAD=ADO, ∴∠OAD﹣∠OAB=ADO﹣∠ABO=BAD,

由(2)得BAD=60° ∴∠ADO﹣∠ABO=60° OAB比ODA大时,

同理可得ABO﹣∠ADO=60° 综上所述,|ABO﹣∠ADO|=60°

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