Question

如图（1），△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，把△ECD绕点C逆时针旋转，使点D在AB上，如图（2），连接AE．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）如图（2），若AB=4，ED=，求△ADE的面积．

Answer 1

（1）证明：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB，
∵在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAB=45°，
设AE=x，AD=y，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠B=45°，AE=BD=x，
∴∠EAD=45°+45°=90°，
∵AB=4，
∴x+y=4，①
在Rt△EAD中，DE=，由勾股定理得：x²+y²=10，②
由①②得：（x+y）²-2xy=10，
4²-2xy=10，
xy=3，
∴△ADE的面积是AE×AD=xy=．
分析：（1）根据等腰三角形得出AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°，求出∠ACE=∠DCB，根据SAS推出△ACE≌△BCD即可；
（2）设AE=x，AD=y，根据全等得出∠CAE=∠B=45°，AE=BD=x，求出∠EAD=90°，推出x+y=4，和x²+y²=10求出xy，根据三角形的面积公式求出即可．
点评：本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的应用．