题目内容

(2013•自贡)将两块全等的三角板如图①摆放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.
(1)将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:CP1=CQ;
(2)在图②中,若AP1=2,则CQ等于多少?
(3)如图③,在B1C上取一点E,连接BE、P1E,设BC=1,当BE⊥P1B时,求△P1BE面积的最大值.
分析:(1)先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°,利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1,从而得出结论.
(2)作P1D⊥CA于D,在RtADP1中,求出P1D,在Rt△CDP1中求出CP1,继而可得出CQ的长度.
(3)证明△AP1C∽△BEC,则有AP1:BE=AC:BC=
3
:1,设AP1=x,则BE=
3
3
x,得出S△P1BE关于x的表达式,利用配方法求最值即可.
解答:(1)证明:∵∠B1CB=45°,∠B1CA1=90°,
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°,
∵在△B1CQ和△BCP1中,
B1CQ=∠BCP1
B1C=BC
B1=∠B

∴△B1CQ≌△BCP1(ASA),
∴CQ=CP1

(2)作P1D⊥CA于D,

∵∠A=30°,
∴P1D=
1
2
AP1=1,
∵∠P1CD=45°,
P1D
CP1
=sin45°=
2
2

∴CP1=
2
P1D=
2

又∵CP1=CQ,
∴CQ=
2


(3)∵∠P1BE=90°,∠ABC=60°,
∴∠A=∠CBE=30°,
∴AC=
3
BC,
由旋转的性质可得:∠ACP1=∠BCE,
∴△AP1C∽△BEC,
∴AP1:BE=AC:BC=
3
:1,
设AP1=x,则BE=
3
3
x,
在Rt△ABC中,∠A=30°,
∴AB=2BC=2,
∴S△P1BE=
1
2
×
3
3
x(2-x)=-
3
6
x2+
3
3
x
=-
3
6
(x-1)2+
3
6

故当x=1时,S△P1BE(max)=
3
6
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值,有一定难度.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网