Question

（2012•同安区一模）我们定义：a是不为1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的衍生数．如：2的衍生数是

1

1-2

=-1，-1的衍生数是

1

1-(-1)

=

1

2

．
（1）若a的衍生数等于

2

3

，求a的值；
（2）已知a₁=-

1

3

，a₂是a₁的衍生数，a₃是a₂的衍生数，a₄是a₃的衍生数，…，依此类推，求a₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得分式方程：

1

1-a

=

2

3

，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意求得a₂，a₃，a₄的值，可得规律：a_n的衍生数3次一循环，继而求得答案．

解答：解：（1）根据题意得：

1

1-a

=

2

3

，
解得a=-

1

2

，
经检验，a=-

1

2

是原分式方程的解．
即a=-

1

2

；

（2）∵a₁=-

1

3

，
∴a₁的衍生数a₂=

1

1-(- 1 3 )

=

3

4

，
a₂的衍生数a₃=

1

1- 3 4

=4，
a₃的衍生数a₄=

1

1-4

=-

1

3

，
a₄的衍生数a₅=

1

1-(- 1 3 )

=

3

4

；
∴a_n的衍生数3次一循环，
∵2011÷3=670…1；
∴a₂₀₁₁=a₁=-

1

3

．

点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度适中，属于规律性题目，注意得到规律：a_n的衍生数3次一循环，是解此题的关键．